समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में समस्याएँ. समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे करें आधार और भुजा का उपयोग करके एक त्रिभुज का निर्माण करें
समद्विबाहुइस तरह से है त्रिकोण, जिसमें इसकी दोनों भुजाओं की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है।
विषय पर समस्याओं का समाधान करते समय "समद्विबाहु त्रिकोण"निम्नलिखित ज्ञात का उपयोग करना आवश्यक है गुण:
1.
समान भुजाओं के सम्मुख कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
2.
समान कोणों से खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिकाएँ और शीर्षलंब एक दूसरे के बराबर होते हैं।
3.
समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिका और ऊंचाई एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं।
4.
अंतवृत्त का केंद्र और परिवृत्त का केंद्र ऊंचाई पर स्थित हैं, और इसलिए आधार पर खींचे गए मध्य और समद्विभाजक पर स्थित हैं।
5.
समद्विबाहु त्रिभुज में जो कोण बराबर होते हैं वे सदैव न्यूनकोण होते हैं।
एक त्रिभुज समद्विबाहु है यदि इसमें निम्नलिखित हैं लक्षण:
1.
एक त्रिभुज के दो कोण बराबर होते हैं.
2.
ऊँचाई माध्यिका से मेल खाती है।
3.
समद्विभाजक माध्यिका के साथ मेल खाता है।
4.
ऊँचाई समद्विभाजक के साथ मेल खाती है।
5.
एक त्रिभुज की दो ऊँचाईयाँ बराबर होती हैं।
6.
एक त्रिभुज के दो समद्विभाजक बराबर होते हैं।
7.
एक त्रिभुज की दोनों माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।
आइए इस विषय पर कई समस्याओं पर विचार करें "समद्विबाहु त्रिकोण"और उनका विस्तृत समाधान बताइये।
कार्य 1।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ऊंचाई 8 है, और आधार की भुजा की ऊंचाई 6:5 है। त्रिभुज के शीर्ष से इसके समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी ज्ञात करें।
समाधान।
मान लीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC दिया गया है (चित्र .1).
1) चूँकि AC: BC = 6:5, तो AC = 6x और BC = 5x। वीएन - त्रिभुज एबीसी के आधार एसी तक खींची गई ऊंचाई।
चूँकि बिंदु H, AC का मध्य है (समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार), तो HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x।
बीसी 2 = वीएन 2 + एनएस 2;
(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;
x = 2, तो
एसी = 6x = 6 2 = 12 और
बीसी = 5x = 5 2 = 10.
3) चूँकि किसी त्रिभुज के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसमें अंकित वृत्त का केंद्र होता है, तो
ओह = आर. हम सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज ABC में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करते हैं
4) एस एबीसी = 1/2 · (एसी · बीएच); एस एबीसी = 1/2 · (12 · 8) = 48;
पी = 1/2 (एबी + बीसी + एसी); पी = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, फिर ओएच = आर = 48/16 = 3।
इसलिए VO = VN - OH; वीओ = 8 – 3 = 5.
उत्तर: 5.
कार्य 2.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, समद्विभाजक AD खींचा जाता है। त्रिभुज ABD और ADC का क्षेत्रफल 10 और 12 है। आधार AC पर खींचे गए इस त्रिभुज की ऊंचाई पर बने वर्ग का तीन गुना क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान।
त्रिभुज ABC - समद्विबाहु, AD - कोण A का समद्विभाजक पर विचार करें (अंक 2)।
1) आइए हम त्रिभुज BAD और DAC का क्षेत्रफल लिखें:
एस बैड = 1/2 · एबी · एडी · पाप α; एस डीएसी = 1/2 · एसी · एडी · पाप α.
2) क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए:
एस बैड/एस डीएसी = (1/2 · एबी · एडी · सिन α) / (1/2 · एसी · एडी · सिन α) = एबी/एसी।
चूँकि S BAD = 10, S DAC = 12, तो 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, तो माना AB = 5x और AC = 6x है।
एएन = 1/2 एसी = 1/2 6x = 3x.
3) त्रिभुज एबीएन से - पायथागॉरियन प्रमेय एबी 2 = एएन 2 + बीएच 2 के अनुसार आयताकार;
25x 2 = वीएन 2 + 9x 2;
4) एस ए ВС = 1/2 · АС · ВН; एस ए बी सी = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2।
चूँकि S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, तो 22 = 12x 2;
x 2 = 11/6; वीएन 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3।
5) वर्ग का क्षेत्रफल VN 2 = 88/3 के बराबर है; 3 88/3 = 88.
उत्तर: 88.
कार्य 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार 4 है और भुजा 8 है। भुजा पर गिराई गई ऊँचाई का वर्ग ज्ञात कीजिए।
समाधान।
त्रिभुज ABC में - समद्विबाहु BC = 8, AC = 4 (चित्र 3)।
1) वीएन - त्रिभुज एबीसी के आधार एसी तक खींची गई ऊंचाई।
चूँकि बिंदु H, AC का मध्य है (समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार), तो HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.
2) त्रिभुज वीएनएस से - पायथागॉरियन प्रमेय बीसी 2 = वीएन 2 + एनएस 2 के अनुसार आयताकार;
64 = वीएन 2 + 4;
3) एस एबीसी = 1/2 · (एसी · बीएच), साथ ही एस एबीसी = 1/2 · (एएम · बीसी), फिर हम सूत्रों के दाहिने हाथ की बराबरी करते हैं, हमें मिलता है
1/2 · एसी · बीएच = 1/2 · एएम · बीसी;
एएम = (एसी बीएच)/बीसी;
एएम = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
उत्तर: 15.
कार्य 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार और उस पर बनी ऊँचाई 16 के बराबर होती है। इस त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
समाधान।
त्रिभुज ABC में - समद्विबाहु आधार AC = 16, ВН = 16 - आधार AC तक खींची गई ऊँचाई (चित्र 4).
1) एएन = एनएस = 8 (एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार)।
2) वीएनएस त्रिभुज से - पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार आयताकार
बीसी 2 = वीएन 2 + एनएस 2;
बीसी 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) त्रिभुज ABC पर विचार करें: ज्या 2R = AB/sin C के प्रमेय के अनुसार, जहाँ R त्रिभुज ABC के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।
पाप सी = बीएच/बीसी (साइन की परिभाषा के अनुसार त्रिकोण वीएनएस से)।
पाप सी = 16/(8√5) = 2/√5, फिर 2आर = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; आर = 10.
उत्तर: 10.
कार्य 5.
एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई 36 है, और अंकित वृत्त की त्रिज्या 10 है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
समाधान।
मान लीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC दिया गया है।
1) चूँकि किसी त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, तो O ϵ VN और AO कोण A का समद्विभाजक है, और OH = r = 10 भी है (चित्र 5).
2) वीओ = वीएन - ओएच; वीओ = 36 – 10 = 26.
3) त्रिभुज ABN पर विचार करें। त्रिभुज के कोण समद्विभाजक पर प्रमेय द्वारा
एबी/एएन = वीओ/ओएच;
AB/AN = 26/10 = 13/5, तो मान लीजिए AB = 13x और AN = 5x है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;
169x 2 = 25x 2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2 ;
144x2 = 144 9;
x = 3, फिर AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) एस एबीसी = 1/2 · (एसी · बीएच); एस एबीसी = 1/2 · (36 · 30) = 540;
उत्तर: 540.
कार्य 6.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो भुजाएँ 5 और 20 के बराबर होती हैं। त्रिभुज के आधार पर कोण का समद्विभाजक ज्ञात कीजिए।
समाधान।
1) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ 5 हैं और आधार 20 है।
फिर 5+5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (चित्र 6)।
2) मान लीजिए LC = x, तो BL = 20 - x। त्रिभुज के कोण समद्विभाजक पर प्रमेय द्वारा
एबी/एसी = बीएल/एलसी;
20/5 = (20 – x)/x,
तब 4x = 20 – x;
इस प्रकार एलसी = 4; बीएल = 20 – 4 = 16.
3) आइए त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक के लिए सूत्र का उपयोग करें:
एएल 2 = एबी एसी - बीएल एलसी,
तब एएल 2 = 20 5 - 4 16 = 36;
उत्तर: 6.
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आठवीं . निर्माण कार्यों के समूह.
सहायक त्रिभुज का उपयोग करके समस्याओं के समूहों को हल करना।
विधि का सार सहायक त्रिकोणों का निर्माण और अंततः समस्या को हल करने के लिए उनके गुणों और नए प्राप्त तत्वों का उपयोग करना है।
निर्माण विश्लेषण में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
अपने विश्लेषण में एक सहायक त्रिभुज की तलाश करें।
यदि नए तत्व प्रकट होते हैं जिनकी सहायता से त्रिभुज ABC का निर्माण किया जा सकता है, तो लक्ष्य प्राप्त हो गया है।
यदि ऐसा नहीं होता है, तो संभवतः एक अन्य सहायक त्रिभुज का निर्माण किया जा सकता है जो लुप्त तत्वों को प्रदान करेगा।
आइए उदाहरणों का उपयोग करके विधि का सार देखें।
कार्य 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की रचना करें ( बी= सी) द्वारा ए, एच बी .
हम एक सहायक त्रिभुज की तलाश कर रहे हैं। जाहिर है, त्रिभुज सीडीबी को ऐसा त्रिभुज मानना सुविधाजनक है।
इससे कोण C प्राप्त होगा, अत: कोण ABC प्राप्त होगा। तो, वहाँ a, कोण B, कोण C है, जिसका अर्थ है कि हम त्रिभुज ABC बना सकते हैं। हम इसे योजनाबद्ध तरीके से इस प्रकार लिखेंगे:
(ए, एच बी) → Δ सीडीबी →< C.
(ए,< B, < C) → Δ ABC.
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
उपरोक्त के समान तर्क का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित डेटा का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज (b=c) बनाने की अनुशंसा करते हैं:
ए)< А, h b ;
बी)< В, h с;
जी)< В, h b ;
इ)< С, h b .
कार्य 2. अंकित वृत्त की त्रिज्या r, कोण A और कोण B का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करें।
मान लीजिए I त्रिभुज ABC में अंकित वृत्त का केंद्र है।
(आर; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(आर; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|एडी| + |वीडी| = |एबी|) → (सी,< А, < В) → Δ ABC.
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
निम्नलिखित तत्वों का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करें:
ए) ए, एच सी, एच बी; बी) ए, एच ए, एच बी; सी) ए, एम ए, एम बी;
जी)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
g) b, h b, m b (जहाँ m माध्यिकाएँ हैं, l समद्विभाजक हैं, h ऊँचाइयाँ हैं)।
अपने आप:
मुख्य समस्याओं के आधार पर समस्याओं के समूहों का समाधान करना।
मुख्य कार्य:
विकर्ण BD और ऊँचाई BM का उपयोग करके एक समचतुर्भुज ABCD बनाएँ। (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
चारों तरफ एक समलम्ब चतुर्भुज का निर्माण करें।
दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करें।
मुख्य कार्य:
दो भुजाओं पर एक समकोण त्रिभुज बनाएं।
दो विकर्णों के अनुदिश एक समचतुर्भुज की रचना कीजिए।
दो असमान भुजाओं वाला एक आयत बनाएं।
दो विकर्णों और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें।
विकर्णों और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक आयत बनाएं।
एक भुजा और दो आसन्न कोणों का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करें।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
मुख्य कार्य:
इसके आधार और आसन्न कोण का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करें।
एक पैर और आसन्न तीव्र कोण का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का निर्माण करें।
इस कोण के शीर्ष से गुजरने वाले एक कोण और एक विकर्ण का उपयोग करके एक समचतुर्भुज की रचना करें।
ऊंचाई और शीर्ष कोण के आधार पर एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें।
दिए गए विकर्ण के अनुदिश एक वर्ग का निर्माण करें।
कर्ण और न्यूनकोण का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
मुख्य कार्य:
किनारे और आधार पर कोने के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें।
इसकी भुजा और शीर्ष कोण का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करें।
तीन भुजाओं का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना कीजिए।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
मुख्य कार्य:
इसके आधार और भुजाओं का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करें।
भुजाओं और विकर्णों के अनुदिश एक समचतुर्भुज का निर्माण करें।
दो असमान भुजाओं और एक विकर्ण का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें।
एक भुजा और दो विकर्णों का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें।
एक पैर और एक कर्ण का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज बनाएं।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
ऊंचाई और भुजा के अनुदिश एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें।
आधार और आधार के अंत से किनारे तक एक लंब का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें।
इसके आधार, ऊंचाई और विकर्ण का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें।
इसकी ऊंचाई और विकर्ण के अनुदिश एक समचतुर्भुज का निर्माण करें।
भुजा और उससे नीचे की ऊँचाई का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करें।
आधार, ऊँचाई और भुजा के आधार पर एक त्रिभुज की रचना कीजिए।
साहित्य:
बी. आई. अरगुनोव, एम. बी. बाल्क "विमान पर ज्यामितीय निर्माण", एम, "प्रोस्वेशचेनी" 1955।
ग्लेज़र जी.आई. "स्कूल में गणित का इतिहास" IV - VI ग्रेड, एम, "ज्ञानोदय", 1981
I. गोल्डनब्लैंट "ज्यामितीय निर्माण समस्याओं को हल करने में अनुभव" "स्कूल में गणित" नंबर 3, 1946
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ए. आई. मोस्टोवॉय "निर्माण समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों को लागू करें" "स्कूल में गणित" नंबर 5, 1983
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समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे करें? रूलर, पेंसिल और नोटबुक सेल के साथ ऐसा करना आसान है।
हम आधार से एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण शुरू करते हैं। पैटर्न को सम बनाने के लिए, आधार पर कोशिकाओं की संख्या एक सम संख्या होनी चाहिए।
खंड - त्रिभुज का आधार - को आधे में विभाजित करें।
त्रिभुज का शीर्ष आधार से किसी भी ऊंचाई पर चुना जा सकता है, लेकिन हमेशा मध्य से बिल्कुल ऊपर।
न्यून समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे करें?
समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण केवल न्यूनकोण हो सकते हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज के न्यूनकोण होने के लिए, शीर्ष पर कोण भी न्यूनकोण होना चाहिए।
ऐसा करने के लिए, आधार से दूर, ऊंचे त्रिभुज के शीर्ष का चयन करें।
शीर्ष जितना ऊँचा होगा, शीर्ष कोण उतना ही छोटा होगा। आधार पर कोण तदनुसार बढ़ते हैं।
एक अधिक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे करें?
जैसे-जैसे समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष आधार के पास पहुंचता है, शीर्ष पर कोण की डिग्री माप बढ़ जाती है।
इसका मतलब यह है कि एक समद्विबाहु अधिक त्रिभुज का निर्माण करने के लिए, हम एक निचले शीर्ष का चयन करते हैं।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का निर्माण कैसे करें?
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाने के लिए, आपको आधार के आधे के बराबर दूरी पर एक शीर्ष का चयन करना होगा (यह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के गुणों के कारण है)।
उदाहरण के लिए, यदि आधार की लंबाई 6 कोश है, तो हम त्रिभुज के शीर्ष को आधार के मध्य से 3 कोश की ऊंचाई पर रखते हैं। कृपया ध्यान दें: इस मामले में, आधार पर कोनों पर प्रत्येक कोशिका को तिरछे विभाजित किया गया है।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का निर्माण शीर्ष से शुरू किया जा सकता है।
हम एक शीर्ष का चयन करते हैं, और उसमें से समकोण पर ऊपर और दाईं ओर समान खंड बिछाते हैं। ये त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
आइए उन्हें जोड़ें और एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज प्राप्त करें।
हम किसी अन्य विषय में विभाजन के बिना एक कम्पास और एक शासक का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज के निर्माण पर विचार करेंगे।