विषय: सीधा गोलाकार शंकु। समतलों द्वारा शंकु का खंड। एक बेलन और एक शंकु का प्रतिच्छेदन P. होमवर्क की जाँच करना
परिचय
शोध विषय की प्रासंगिकता.गणितज्ञों को शंकु अनुभाग पहले से ही ज्ञात थे प्राचीन ग्रीस(उदाहरण के लिए, मेनेचमस, चौथी शताब्दी ईसा पूर्व); इन वक्रों की सहायता से, कुछ निर्माण समस्याओं को हल किया गया (घन को दोगुना करना, आदि), जो कि सबसे सरल ड्राइंग टूल - कम्पास और शासकों का उपयोग करते समय अप्राप्य हो गए। पहले अध्ययनों में जो हमारे पास आए हैं, ग्रीक जियोमीटर ने जेनरेट्रिस में से एक के लिए लंबवत एक काटने वाले विमान को खींचकर शंकु खंड प्राप्त किए, और, शंकु के शीर्ष पर उद्घाटन कोण के आधार पर (यानी, जेनरेट्रीस के बीच सबसे बड़ा कोण) एक गुहा की), प्रतिच्छेदन रेखा एक दीर्घवृत्त बन जाती है, यदि यह कोण न्यून है, एक परवलय है यदि यह समकोण है, और एक अतिपरवलय है यदि यह अधिक कोण है। इन वक्रों पर सबसे पूर्ण कार्य पेर्गा के अपोलोनियस (लगभग 200 ईसा पूर्व) द्वारा कॉनिक सेक्शन था। शंकु वर्गों के सिद्धांत में आगे की प्रगति 17वीं शताब्दी में निर्माण से जुड़ी हुई है। नई ज्यामितीय विधियाँ: प्रक्षेप्य (फ्रांसीसी गणितज्ञ जे. डेसर्गेस, बी. पास्कल) और विशेष रूप से समन्वय (फ्रांसीसी गणितज्ञ आर. डेसकार्टेस, पी. फ़र्मेट)।
शंकु वर्गों में रुचि को हमेशा इस तथ्य से समर्थन मिला है कि ये वक्र अक्सर विभिन्न प्राकृतिक घटनाओं और मानव गतिविधियों में पाए जाते हैं। विज्ञान में, शंकु वर्गों को जर्मन खगोलशास्त्री आई. केप्लर द्वारा अवलोकनों से खोजे जाने के बाद विशेष महत्व प्राप्त हुआ, और अंग्रेजी वैज्ञानिक आई. न्यूटन ने सैद्धांतिक रूप से ग्रहों की गति के नियमों को प्रमाणित किया, जिनमें से एक में कहा गया है कि ग्रह और धूमकेतु सौर परिवारशंकुधारी खंडों के साथ आगे बढ़ते हुए, जिसके एक फोकस पर सूर्य स्थित है। निम्नलिखित उदाहरण कुछ प्रकार के शंकु वर्गों को संदर्भित करते हैं: एक परवलय का वर्णन क्षितिज पर तिरछे फेंके गए प्रक्षेप्य या पत्थर द्वारा किया जाता है (वक्र का सही आकार हवा के प्रतिरोध से कुछ हद तक विकृत होता है); कुछ तंत्र अण्डाकार गियर ("अण्डाकार गियर") का उपयोग करते हैं; हाइपरबोला व्युत्क्रम आनुपातिकता के ग्राफ के रूप में कार्य करता है, जो अक्सर प्रकृति में देखा जाता है (उदाहरण के लिए, बॉयल-मैरियट कानून)।
कार्य का लक्ष्य:
शंकुधारी वर्गों के सिद्धांत का अध्ययन।
शोध विषय:
शंक्वाकार खंड.
इस अध्ययन का उद्देश्य:
सैद्धांतिक रूप से शंकु वर्गों की विशेषताओं का अध्ययन करें।
अध्ययन का उद्देश्य:
शंक्वाकार खंड.
अध्ययन का विषय:
शंकु वर्गों का ऐतिहासिक विकास।
1. शंकु वर्गों का निर्माण एवं उनके प्रकार
शंकु खंड वे रेखाएँ हैं जो विभिन्न तलों वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु के खंड में बनती हैं।
ध्यान दें कि शंक्वाकार सतह एक सीधी रेखा की गति से बनी सतह होती है जो हमेशा एक निश्चित बिंदु (शंकु के शीर्ष) से होकर गुजरती है और लगातार एक निश्चित वक्र - एक मार्गदर्शक (हमारे मामले में, एक वृत्त) को काटती है।
शंकु के जेनरेटर के सापेक्ष काटने वाले विमानों के स्थान की प्रकृति के अनुसार इन रेखाओं को वर्गीकृत करने से तीन प्रकार के वक्र प्राप्त होते हैं:
I. एक शंकु को ऐसे तलों से काटने से बनने वाले वक्र जो किसी भी जेनरेटर के समानांतर नहीं हैं। ऐसे वक्र विभिन्न वृत्त और दीर्घवृत्त होंगे। इन वक्रों को अण्डाकार वक्र कहा जाता है।
द्वितीय. शंकु के एक खंड द्वारा समतलों द्वारा बनाए गए वक्र, जिनमें से प्रत्येक शंकु के जेनरेटर में से एक के समानांतर है (चित्र 1 बी)। केवल परवलय ही ऐसे वक्र होंगे।
तृतीय. समतलों द्वारा शंकु के एक खंड द्वारा निर्मित वक्र, जिनमें से प्रत्येक कुछ दो जनरेटरों के समानांतर होता है (चित्र 1 सी)। ऐसे वक्र अतिपरवलय होंगे।
अब कोई भी IV प्रकार का वक्र नहीं हो सकता है, क्योंकि शंकु के तीन जेनरेटर के समानांतर एक ही विमान नहीं हो सकता है, क्योंकि शंकु के कोई भी तीन जेनरेटर अब एक ही विमान में नहीं हैं।
ध्यान दें कि शंकु को समतलों द्वारा प्रतिच्छेद किया जा सकता है ताकि खंड दो सीधी रेखाएँ उत्पन्न करे। ऐसा करने के लिए, शंकु के शीर्ष के माध्यम से काटने वाले विमानों को खींचा जाना चाहिए।
2. दीर्घवृत्त
शंकु वर्गों के गुणों का अध्ययन करने के लिए, दो प्रमेय महत्वपूर्ण हैं:
प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक सीधा वृत्ताकार शंकु दिया गया है, जो अपनी धुरी पर लंबवत तलों b 1, b 2, b 3 द्वारा विच्छेदित है। फिर वृत्तों के किसी भी जोड़े के बीच शंकु के जनरेटर के सभी खंड (दिए गए विमानों के साथ एक खंड में प्राप्त) एक दूसरे के बराबर होते हैं, अर्थात। ए 1 बी 1 = ए 2 बी 2 = आदि। और बी 1 सी 1 = बी 2 सी 2 = आदि। प्रमेय 2. यदि एक गोलाकार सतह और उसके बाहर कुछ बिंदु S दिया गया है, तो बिंदु S से गोलाकार सतह तक खींचे गए स्पर्शरेखा खंड एक दूसरे के बराबर होंगे, अर्थात। एसए 1 = एसए 2 = एसए 3, आदि।
2.1 दीर्घवृत्त का मूल गुण
आइए हम एक सीधे वृत्ताकार शंकु को उसके सभी घटकों को प्रतिच्छेदित करने वाले तल से विच्छेदित करें। खंड में हमें एक दीर्घवृत्त प्राप्त होता है। आइए शंकु की धुरी के माध्यम से समतल पर लंबवत एक समतल बनाएं।
आइए हम शंकु में दो गेंदें अंकित करें ताकि, विमान के विपरीत किनारों पर स्थित और शंक्वाकार सतह को छूते हुए, उनमें से प्रत्येक किसी बिंदु पर विमान को छू सके।
एक गेंद को बिंदु F1 पर समतल को स्पर्श करें और शंकु को वृत्त C1 के अनुदिश स्पर्श करें, और दूसरी को बिंदु F2 पर स्पर्श करें और शंकु को वृत्त C2 के अनुदिश स्पर्श करें।
आइए दीर्घवृत्त पर एक मनमाना बिंदु P लें।
इसका मतलब यह है कि इसके संबंध में निकाले गए सभी निष्कर्ष दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के लिए मान्य होंगे। आइए हम शंकु के ओपी का एक जेनरेटर बनाएं और उन बिंदुओं आर 1 और आर 2 को चिह्नित करें जिन पर यह निर्मित गेंदों को छूता है।
आइए बिंदु P को बिंदु F 1 और F 2 से जोड़ें। तब РF 1 =РR 1 और РF 2 =РR 2, चूँकि РF 1, РR 1 बिंदु P से एक गेंद पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं, और РF 2, РR 2 बिंदु P से दूसरी गेंद पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं (प्रमेय 2)। दोनों समानताओं को पद दर पद जोड़ने पर, हम पाते हैं
РF 1 + РF 2 = РR 1 + РR 2 = R 1 R 2 (1)
यह संबंध दर्शाता है कि दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु P से दो बिंदुओं F 1 और F 2 की दूरियों (РF 1 और РF 2) का योग किसी दिए गए दीर्घवृत्त के लिए एक स्थिर मान है (अर्थात, यह इस पर निर्भर नहीं करता है) दीर्घवृत्त पर बिंदु P की स्थिति)।
बिंदु F 1 और F 2 को दीर्घवृत्त का नाभि बिंदु कहा जाता है। वे बिंदु जिन पर सीधी रेखा F 1 F 2 दीर्घवृत्त को काटती है, दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं। शीर्षों के बीच के खंड को दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है।
जेनरेट्रिक्स खंड आर 1 आर 2 की लंबाई दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के बराबर है। फिर दीर्घवृत्त का मुख्य गुण इस प्रकार तैयार किया जाता है: दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु P से उसकी नाभि F 1 और F 2 की दूरी का योग किसी दिए गए दीर्घवृत्त के लिए एक स्थिर मान है, जो उसके प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर है .
ध्यान दें कि यदि दीर्घवृत्त की नाभियाँ संपाती हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है, अर्थात्। घेरा - विशेष मामलादीर्घवृत्त.
2.2 दीर्घवृत्त समीकरण
दीर्घवृत्त के समीकरण का निर्माण करने के लिए, हमें दीर्घवृत्त को बिंदुओं के एक बिंदुपथ के रूप में मानना चाहिए जिसमें कुछ गुण होते हैं जो इस बिंदुपथ की विशेषता बताते हैं। आइए दीर्घवृत्त की मुख्य संपत्ति को इसकी परिभाषा के रूप में लें: एक दीर्घवृत्त एक विमान पर बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए इस विमान के दो निश्चित बिंदुओं एफ 1 और एफ 2 की दूरी का योग, जिसे फोकस कहा जाता है, एक स्थिर मान है इसकी प्रमुख धुरी की लंबाई के बराबर।
मान लीजिए कि खंड F 1 F 2 = 2c की लंबाई है, और प्रमुख अक्ष की लंबाई 2a के बराबर है। दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम खंड F 1 F 2 के मध्य में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल O को चुनते हैं, और चित्र 5 में दर्शाए अनुसार Ox और Oy अक्षों को निर्देशित करते हैं। (यदि नाभियाँ संपाती हैं, तो O, F 1 और F 2 के साथ मेल खाता है, और Ox अक्ष से परे O से होकर गुजरने वाली कोई भी धुरी हो सकती है)। फिर चयनित समन्वय प्रणाली में बिंदु F 1 (c, 0) और F 2 (-c, 0)। जाहिर है, 2a>2c, यानी। ए>सी. मान लीजिए कि दीर्घवृत्त के तल पर M(x, y) एक बिंदु है। माना एमएफ 1 =आर 1, एमएफ 2 =आर 2. दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, समानता
r 1 +r 2 =2a (2) किसी दिए गए दीर्घवृत्त पर बिंदु M (x, y) के स्थान के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं
आर 1 =, आर 2 =. आइए समानता पर लौटें (2):
आइए एक मूल को समानता के दाईं ओर ले जाएं और इसे वर्गित करें:
घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
हम समान प्रस्तुत करते हैं, 4 से कम करते हैं और रेडिकल हटाते हैं:
बराबरी
कोष्ठक खोलें और इन्हें छोटा करें:
हमें कहां मिलता है:
(ए 2 -सी 2) एक्स 2 +ए 2 वाई 2 =ए 2 (ए 2 -सी 2)। (3)
ध्यान दें कि a 2 -c 2 >0. दरअसल, r 1 +r 2 त्रिभुज F 1 MF 2 की दो भुजाओं का योग है, और F 1 F 2 इसकी तीसरी भुजा है। इसलिए, r 1 +r 2 > F 1 F 2, या 2a>2c, यानी। ए>सी. आइए a 2 -c 2 =b 2 को निरूपित करें। समीकरण (3) इस प्रकार दिखेगा: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. आइए हम एक परिवर्तन करें जो दीर्घवृत्त समीकरण को विहित (शाब्दिक रूप से: एक मॉडल के रूप में लिया गया) रूप में लाता है, अर्थात्, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 2 बी 2 से विभाजित करते हैं:
(4) - एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण.
चूँकि समीकरण (4) समीकरण (2*) का बीजगणितीय परिणाम है, दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु M के x और y निर्देशांक भी समीकरण (4) को संतुष्ट करेंगे। चूंकि रेडिकल से छुटकारा पाने से जुड़े बीजगणितीय परिवर्तनों के दौरान, "अतिरिक्त जड़ें" दिखाई दे सकती हैं, इसलिए यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि कोई भी बिंदु एम, जिसके निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं, इस दीर्घवृत्त पर स्थित है। ऐसा करने के लिए, यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि प्रत्येक बिंदु के लिए r 1 और r 2 के मान संबंध (2) को संतुष्ट करते हैं। तो, मान लीजिए कि बिंदु M के x और y निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं। (4) से y 2 के मान को अभिव्यक्ति r 1 में प्रतिस्थापित करने पर, सरल परिवर्तनों के बाद हम पाते हैं कि r 1 =। चूँकि, तब r 1 =. ठीक उसी प्रकार हम पाते हैं कि r 2 =। इस प्रकार, विचारित बिंदु M r 1 =, r 2 = के लिए, अर्थात। r 1 +r 2 =2a, इसलिए बिंदु M दीर्घवृत्त पर स्थित है। ए और बी की मात्राओं को क्रमशः दीर्घवृत्त का प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष कहा जाता है।
2.3 दीर्घवृत्त के समीकरण का उपयोग करके उसके आकार का अध्ययन
आइए हम इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।
1. समीकरण (4) में केवल सम घातों में x और y शामिल हैं, इसलिए यदि एक बिंदु (x, y) एक दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो इसमें बिंदु (x, - y), (-x, y), (-) भी शामिल हैं एक्स, - वाई). इससे यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त ऑक्स और ओय अक्षों के साथ-साथ बिंदु O (0,0) के संबंध में सममित है, जिसे दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।
2. निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। y=0 सेट करने पर, हमें दो बिंदु A 1 (a, 0) और A 2 (-a, 0) मिलते हैं, जिन पर ऑक्स अक्ष दीर्घवृत्त को काटता है। समीकरण (4) में x=0 रखने पर, हम ओए अक्ष के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: बी 1 (0, बी) और। बी 2 (0, - बी) बिंदु ए 1, ए 2, बी 1, बी 2 को दीर्घवृत्त के शीर्ष कहा जाता है।
3. समीकरण (4) से यह निष्कर्ष निकलता है कि बायीं ओर का प्रत्येक पद एक से अधिक नहीं है, अर्थात्। असमानताएँ और या और घटित होती हैं। परिणामस्वरूप, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित आयत के अंदर स्थित होते हैं।
4. समीकरण (4) में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग एक के बराबर है। नतीजतन, जैसे-जैसे एक पद बढ़ेगा, दूसरा घटेगा, यानी। यदि x बढ़ता है, तो y घटता है और इसके विपरीत।
उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र में दिखाया गया है। 6 (अंडाकार बंद वक्र).
ध्यान दें कि यदि a = b है, तो समीकरण (4) x 2 + y 2 = a 2 का रूप लेगा। यह एक वृत्त का समीकरण है. त्रिज्या a वाले वृत्त से एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है यदि इसे ओए अक्ष के साथ एक कारक द्वारा संपीड़ित किया जाता है। इस तरह के संपीड़न के साथ, बिंदु (x; y) बिंदु (x; y 1) पर चला जाएगा, जहां। समीकरण में वृत्तों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त होता है: .
आइए दीर्घवृत्त के आकार को दर्शाने वाली एक और मात्रा का परिचय दें।
एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता उसके प्रमुख अक्ष की फोकल लंबाई 2c और लंबाई 2a का अनुपात है।
विलक्षणता को आमतौर पर e से दर्शाया जाता है: e=चूंकि c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.
अंतिम समानता से दीर्घवृत्त की विलक्षणता की ज्यामितीय व्याख्या प्राप्त करना आसान है। जब बहुत छोटा होता है, तो संख्याएँ a और b लगभग बराबर होती हैं, अर्थात दीर्घवृत्त एक वृत्त के निकट होता है। यदि यह एक के करीब है, तो संख्या बी संख्या ए की तुलना में बहुत छोटी है और दीर्घवृत्त प्रमुख अक्ष के साथ दृढ़ता से लम्बा है। इस प्रकार, दीर्घवृत्त की विलक्षणता दीर्घवृत्त के बढ़ाव के माप को दर्शाती है।
3. अतिशयोक्ति
3.1 अतिपरवलय का मुख्य गुण
दीर्घवृत्त का अध्ययन करने के लिए किए गए निर्माणों के समान निर्माणों का उपयोग करके हाइपरबोला का अध्ययन करके, हम पाएंगे कि हाइपरबोला में दीर्घवृत्त के समान गुण हैं।
आइए हम एक सीधे वृत्ताकार शंकु को, जिसका तल b, इसके दोनों तलों को प्रतिच्छेद करता है, अर्थात् विच्छेदित करें। इसके दो जनरेटर के समानांतर। क्रॉस सेक्शन का परिणाम हाइपरबोला होगा। आइए शंकु के अक्ष ST से होकर समतल B के लंबवत समतल ASB खींचते हैं।
आइए हम शंकु में दो गेंदें डालें - एक इसकी गुहा में, दूसरी दूसरी में, ताकि उनमें से प्रत्येक शंक्वाकार सतह और छेदक तल को छू सके। मान लीजिए कि पहली गेंद बिंदु F 1 पर समतल b को स्पर्श करती है और वृत्त UґVґ के अनुदिश शंक्वाकार सतह को स्पर्श करती है। मान लीजिए कि दूसरी गेंद बिंदु F2 पर समतल b को स्पर्श करती है और वृत्त UV के अनुदिश शंक्वाकार सतह को स्पर्श करती है।
आइए हाइपरबोला पर एक मनमाना बिंदु M चुनें। इसके माध्यम से शंकु MS का एक जेनरेटर बनाएं और उन बिंदुओं d और D को चिह्नित करें जिन पर यह पहली और दूसरी गेंदों को छूता है। आइए बिंदु M को बिंदु F 1, F 2 से जोड़ें, जिसे हम हाइपरबोला का फोकस कहेंगे। तब एमएफ 1 =एमडी, चूंकि दोनों खंड बिंदु एम से खींची गई पहली गेंद के स्पर्शरेखा हैं। इसी तरह, एमएफ 2 =एमडी। पहले से पद दर पद घटाने पर, हम पाते हैं
एमएफ 1 -एमएफ 2 =एमडी-एमडी=डीडी,
जहां dD एक स्थिर मान है (आधार UґVґ और UV वाले शंकु के जनरेटर के रूप में), हाइपरबोला पर बिंदु M की पसंद से स्वतंत्र। आइए हम उन बिंदुओं को P और Q से निरूपित करें जिन पर सीधी रेखा F 1 F 2 हाइपरबोला को काटती है। ये बिंदु P और Q अतिपरवलय के शीर्ष कहलाते हैं। खंड PQ को अतिपरवलय का वास्तविक अक्ष कहा जाता है। प्रारंभिक ज्यामिति के दौरान यह सिद्ध हो गया है कि dD=PQ। इसलिए एमएफ 1 -एमएफ 2 =पीक्यू.
यदि बिंदु M हाइपरबोला की उस शाखा पर स्थित है जिसके निकट फोकस F 1 स्थित है, तो MF 2 -MF 1 = PQ। तब अंततः हमें MF 1 -MF 2 =PQ प्राप्त होता है।
हाइपरबोला के एक मनमाना बिंदु M की उसकी नाभि F 1 और F 2 से दूरियों के बीच अंतर का मापांक हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष की लंबाई के बराबर एक स्थिर मान है।
3.2 अतिपरवलय समीकरण
आइए हाइपरबोला की मुख्य संपत्ति को इसकी परिभाषा के रूप में लें: हाइपरबोला एक विमान पर बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए इस विमान के दो निश्चित बिंदुओं एफ 1 और एफ 2 की दूरी में अंतर का मापांक, जिसे फोकस कहा जाता है, एक है स्थिर मान इसकी वास्तविक धुरी की लंबाई के बराबर है।
मान लीजिए कि खंड F 1 F 2 = 2c की लंबाई है, और वास्तविक अक्ष की लंबाई 2a के बराबर है। विहित हाइपरबोला समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम खंड एफ 1 एफ 2 के मध्य में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल ओ को चुनते हैं, और चित्र 5 में दर्शाए अनुसार ऑक्स और ओए अक्षों को निर्देशित करते हैं। फिर चयनित समन्वय प्रणाली में बिंदु एफ 1 (सी, 0) और एफ 2 (-एस, 0)। जाहिर है 2ए<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство
r 1 -r 2 =2a (5) किसी दिए गए हाइपरबोला पर बिंदु M (x, y) की स्थिति के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं
आर 1 =, आर 2 =. आइए समानता पर लौटें (5):
आइए समानता के दोनों पक्षों को वर्गित करें
(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2
घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
2 xc=4a 2 ±4a-2 xc
±4a=4a 2 -4 xc
ए 2 एक्स 2 -2ए 2 एक्ससी+ए 2 सी 2 +ए 2 वाई 2 =ए 4 -2ए 2 एक्ससी+एक्स 2 सी 2
एक्स 2 (सी 2 -ए 2) - ए 2 वाई 2 = ए 2 (सी 2 -ए 2) (6)
ध्यान दें कि 2 -a 2 >0 के साथ। आइए हम c 2 -a 2 =b 2 को निरूपित करें। समीकरण (6) इस प्रकार दिखेगा: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. आइए हम एक परिवर्तन करें जो हाइपरबोला समीकरण को विहित रूप में लाता है, अर्थात्, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 2 b 2 से विभाजित करते हैं: (7) - हाइपरबोला के विहित समीकरण में, मात्राएँ a और b क्रमशः हाइपरबोला के वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्ष हैं।
हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि समीकरण (5*) के बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा प्राप्त समीकरण (7) ने नई जड़ें हासिल नहीं की हैं। ऐसा करने के लिए, यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि प्रत्येक बिंदु M के लिए, निर्देशांक x और y, जो समीकरण (7) को संतुष्ट करते हैं, मान r 1 और r 2 संबंध (5) को संतुष्ट करते हैं। दीर्घवृत्त सूत्र प्राप्त करते समय दिए गए तर्कों के समान तर्कों को आगे बढ़ाते हुए, हम r 1 और r 2 के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ पाते हैं:
इस प्रकार, विचाराधीन बिंदु M के लिए हमारे पास r 1 -r 2 =2a है, और इसलिए यह हाइपरबोला पर स्थित है।
3.3 अतिपरवलय समीकरण का अध्ययन
आइए अब समीकरण (7) पर विचार के आधार पर हाइपरबोला के स्थान का अंदाजा लगाने का प्रयास करें।
1. सबसे पहले, समीकरण (7) दर्शाता है कि हाइपरबोला दोनों अक्षों के बारे में सममित है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि वक्र के समीकरण में केवल निर्देशांक की सम घातें शामिल होती हैं। 2. आइए अब समतल के उस क्षेत्र को चिह्नित करें जहां वक्र स्थित होगा। Y के संबंध में हल किए गए हाइपरबोला के समीकरण का रूप इस प्रकार है:
यह दर्शाता है कि y हमेशा मौजूद रहता है जब x 2? एक 2. क्या इसका मतलब यह है कि x पर? a और x के लिए - a कोटि y वास्तविक होगी, और - a के लिए इसके अलावा, जैसे-जैसे x बढ़ता है (और a बड़ा होता है), कोटि y भी हर समय बढ़ती जाएगी (विशेष रूप से, यहां से यह स्पष्ट है कि वक्र लहरदार नहीं हो सकता है, यानी, जैसे कि भुज x बढ़ता है, कोटि y या तो बढ़ता है या घटता है)। एच. हाइपरबोला का केंद्र एक बिंदु है जिसके सापेक्ष हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु पर एक बिंदु होता है जो स्वयं सममित होता है। बिंदु O(0,0), मूल बिंदु, दीर्घवृत्त की तरह, विहित समीकरण द्वारा परिभाषित हाइपरबोला का केंद्र है। इसका मतलब यह है कि हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु पर बिंदु O के सापेक्ष हाइपरबोला पर एक सममित बिंदु होता है। यह ऑक्स और ओय अक्षों के सापेक्ष हाइपरबोला की समरूपता से होता है। हाइपरबोला के केंद्र से गुजरने वाली प्रत्येक राग को हाइपरबोला का व्यास कहा जाता है। 4. हाइपरबोला के उस रेखा के साथ प्रतिच्छेद बिंदु जिस पर उसका फोकस स्थित है, हाइपरबोला के शीर्ष कहलाते हैं, और उनके बीच के खंड को हाइपरबोला का वास्तविक अक्ष कहा जाता है। इस मामले में, वास्तविक अक्ष ऑक्स अक्ष है। ध्यान दें कि हाइपरबोला की वास्तविक धुरी को अक्सर खंड 2 ए और सीधी रेखा (ऑक्स अक्ष) दोनों कहा जाता है जिस पर यह स्थित है। आइए ओए अक्ष के साथ हाइपरबोला के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। ओय अक्ष के लिए समीकरण x=0 है। समीकरण (7) में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि हाइपरबोला का ओए अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। यह समझ में आता है, क्योंकि ओए अक्ष को कवर करने वाली 2ए चौड़ाई की पट्टी में कोई हाइपरबोला बिंदु नहीं हैं। हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली सीधी रेखा को हाइपरबोला की काल्पनिक धुरी कहा जाता है। इस मामले में, यह ओए अक्ष के साथ मेल खाता है। तो, हाइपरबोला समीकरण (7) में x 2 और y 2 वाले पदों के हर में हाइपरबोला के वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्षों के वर्ग होते हैं। 5. अतिपरवलय रेखा y = kx को k पर प्रतिच्छेद करता है< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет. सबूत हाइपरबोला और सीधी रेखा y = kx के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है Y को हटाने पर हमें प्राप्त होता है या b 2 -k 2 a 2 0 के लिए, यानी k के लिए परिणामी समीकरण और इसलिए सिस्टम का कोई समाधान नहीं है। समीकरण y= और y= वाली रेखाओं को हाइपरबोला के अनंतस्पर्शी कहा जाता है। b 2 -k 2 a 2 >0 के लिए अर्थात k के लिए< система имеет два решения: नतीजतन, प्रत्येक सीधी रेखा मूल से होकर गुजरती है, जिसका ढलान k है< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы. 6. हाइपरबोला का ऑप्टिकल गुण: हाइपरबोला के एक फोकस से निकलने वाली ऑप्टिकल किरणें, उससे परावर्तित होकर, दूसरे फोकस से निकलती हुई प्रतीत होती हैं। एक अतिपरवलय की विलक्षणता उसके वास्तविक अक्ष की फोकल लंबाई 2c और लंबाई 2a का अनुपात है? = चूंकि c > a, तो e > 1, जिसका अर्थ है कि दीर्घवृत्त के मामले में, अतिपरवलय की नाभियाँ हैं वक्र के अंदर स्थित, 3.4 संयुग्मित अतिपरवलय हाइपरबोला (7) के साथ, इसके तथाकथित हाइपरबोला संयुग्म पर विचार किया जाता है। संयुग्मी अतिपरवलय को विहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है। चित्र में. 10 अतिपरवलय (7) और उसके संयुग्मी अतिपरवलय को दर्शाता है। संयुग्मित हाइपरबोला में दिए गए अनंतस्पर्शी के समान ही हैं, लेकिन एफ 1 (0, सी), 4. परवलय
4.1 परवलय का मूल गुण आइए हम परवलय के मूल गुण स्थापित करें। आइए शीर्ष S वाले एक सीधे वृत्ताकार शंकु को उसके किसी जनरेटर के समानांतर समतल द्वारा विच्छेदित करें। अनुप्रस्थ काट में हमें एक परवलय मिलता है। आइए शंकु के अक्ष ST से होकर समतल के लंबवत एक समतल ASB खींचते हैं (चित्र 11)। इसमें पड़ा जेनरेटर एसए विमान के समानांतर होगा। आइए हम शंकु में एक गोलाकार सतह अंकित करें, जो वृत्त UV के अनुदिश शंकु की स्पर्शरेखा है और बिंदु F पर समतल की स्पर्शरेखा है। आइए हम जेनरेट्रिक्स SA के समानांतर बिंदु F से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं। आइए जेनरेट्रिक्स एसबी के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को पी द्वारा निरूपित करें। बिंदु एफ को परवलय का फोकस कहा जाता है, बिंदु पी इसका शीर्ष है, और सीधी रेखा पीएफ शीर्ष और फोकस से होकर गुजरती है (और जेनरेट्रिक्स एसए के समानांतर है) ) को परवलय का अक्ष कहा जाता है। परवलय में दूसरा शीर्ष नहीं होगा - एसए जनरेटर के साथ पीएफ अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु: यह बिंदु "अनंत तक जाता है"। आइए डायरेक्ट्रिक्स ("गाइड" के रूप में अनुवादित) को उस विमान के साथ विमान के चौराहे की रेखा क्यू 1 क्यू 2 कहें जिसमें सर्कल यूवी स्थित है। परवलय पर एक मनमाना बिंदु M लें और इसे शंकु S के शीर्ष से जोड़ दें। सीधी रेखा MS गेंद को वृत्त UV पर स्थित बिंदु D पर स्पर्श करती है। आइए बिंदु M को फोकस F से कनेक्ट करें और लंबवत MK को बिंदु M से डायरेक्ट्रिक्स तक नीचे करें। तब यह पता चलता है कि परवलय के एक मनमाना बिंदु M से फोकस (MF) और डायरेक्ट्रिक्स (MK) की दूरी एक दूसरे के बराबर होती है (परवलय का मुख्य गुण), अर्थात। एमएफ=एमके. प्रमाण: MF=MD (एक बिंदु से गेंद पर स्पर्श रेखा के रूप में)। आइए हम शंकु के किसी जेनरेटर और ST अक्ष के बीच के कोण को c के रूप में निरूपित करें। आइए खंडों एमडी और एमके को एसटी अक्ष पर प्रक्षेपित करें। खंड एमडी एमडीसीओएससी के बराबर एसटी अक्ष पर एक प्रक्षेपण बनाता है, क्योंकि एमडी शंकु के जनरेटर पर स्थित है; खंड एमके, एमकेएसओएससी के बराबर एसटी अक्ष पर एक प्रक्षेपण बनाता है, क्योंकि खंड एमके जेनरेट्रिक्स एसए के समानांतर है। (वास्तव में, नियता q 1 q 1 समतल ASB पर लंबवत है। परिणामस्वरूप, सीधी रेखा PF नियता को बिंदु L पर समकोण पर काटती है। लेकिन सीधी रेखाएं MK और PF एक ही तल में स्थित हैं, और MK भी है डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत)। एसटी अक्ष पर दोनों खंडों एमके और एमडी के प्रक्षेपण एक-दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि उनका एक सिरा - बिंदु एम - उभयनिष्ठ है, और अन्य दो डी और के एसटी अक्ष के लंबवत समतल में स्थित हैं (चित्र)। . तब MDcosc = MKcosc या MD = MK। इसलिए, एमएफ=एमके. संपत्ति 1.(परवलय की फोकल संपत्ति)। परवलय के किसी भी बिंदु से मुख्य तार के मध्य तक की दूरी इसकी नियता से दूरी के बराबर होती है। सबूत। बिंदु F सीधी रेखा QR और मुख्य जीवा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह बिंदु सममिति अक्ष ओए पर स्थित है। वास्तव में, त्रिभुज RNQ और ROF समकोण त्रिभुज की तरह समान हैं घायल पैरों वाले त्रिकोण (NQ=OF, OR=RN)। इसलिए, चाहे हम कोई भी बिंदु N लें, उससे बनी सीधी रेखा QR मुख्य जीवा को उसके मध्य F में काटेगी। अब यह स्पष्ट है कि त्रिभुज FMQ समद्विबाहु है। दरअसल, खंड एमआर इस त्रिभुज की माध्यिका और ऊंचाई दोनों है। यह इस प्रकार है कि MF=MQ. संपत्ति 2.(परवलय की ऑप्टिकल संपत्ति)। परवलय की प्रत्येक स्पर्शरेखा, स्पर्शरेखा के बिंदु तक खींची गई फोकल त्रिज्या के साथ समान कोण बनाती है और स्पर्शरेखा के बिंदु से गुजरने वाली किरण और अक्ष के साथ सह-दिशात्मक होती है (या, एकल फोकस से निकलने वाली किरणें, परवलय से परावर्तित होती हैं, समानांतर जाएंगी) अक्ष पर). सबूत। परवलय पर स्थित एक बिंदु N के लिए, समानता |FN|=|NH| मान्य है, और परवलय के आंतरिक क्षेत्र में स्थित एक बिंदु N" के लिए, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём: |FM"|=|M"K"|>|M"K"|, अर्थात बिंदु M" परवलय के बाहरी क्षेत्र में स्थित है। तो, बिंदु M को छोड़कर पूरी सीधी रेखा l, बाहरी क्षेत्र में स्थित है, अर्थात परवलय का आंतरिक क्षेत्र l के एक तरफ स्थित है, जिसका अर्थ है कि l परवलय की स्पर्शरेखा है। यह परवलय के ऑप्टिकल गुण का प्रमाण प्रदान करता है: कोण 1, कोण 2 के बराबर है, क्योंकि l कोण FMC का समद्विभाजक है। 4.2 परवलय समीकरण परवलय के मुख्य गुण के आधार पर, हम इसकी परिभाषा बनाते हैं: परवलय समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक एक दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होता है, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई सीधी रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। . फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p > 0) द्वारा दर्शाया जाता है। परवलय के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम समन्वय प्रणाली ऑक्सी को चुनते हैं ताकि ऑक्सी अक्ष डायरेक्ट्रिक्स से एफ की दिशा में डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत फोकस एफ से होकर गुजरे, और निर्देशांक ओ की उत्पत्ति बीच में स्थित हो फोकस और डायरेक्ट्रिक्स (चित्र 12)। चुनी गई प्रणाली में, फोकस F(, 0) है, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण का रूप x = -, या x + = 0 है। मान लीजिए m (x, y) परवलय का एक मनमाना बिंदु है। आइए बिंदु M को F से कनेक्ट करें। डायरेक्ट्रिक्स पर लंबवत खंड MH खींचें। परवलय की परिभाषा के अनुसार एमएफ = एमएन। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं: इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है वे। (8) समीकरण (8) को परवलय का विहित समीकरण कहा जाता है। 4.3 परवलय के समीकरण का उपयोग करके उसके आकार का अध्ययन 1. समीकरण (8) में चर y एक सम डिग्री में दिखाई देता है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है; ऑक्स अक्ष परवलय की समरूपता का अक्ष है। 2. चूँकि c > 0, (8) से यह निष्कर्ष निकलता है कि x>0। नतीजतन, परवलय ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित है। 3. माना x = 0, फिर y = 0. इसलिए, परवलय मूल बिंदु से होकर गुजरता है। 4. जैसे-जैसे x अनिश्चित काल तक बढ़ता है, मॉड्यूल y भी अनिश्चित काल तक बढ़ता है। परवलय y 2 =2 px का रूप (आकार) चित्र 13 में दिखाया गया है। बिंदु O (0; 0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM = r को बिंदु M का फोकल त्रिज्या कहा जाता है। समीकरण y 2 = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) परवलय को भी परिभाषित करते हैं। 1.5. शंकु वर्गों की निर्देशकीय संपत्ति .
यहां हम यह साबित करेंगे कि प्रत्येक गैर-वृत्ताकार (गैर-विकृत) शंकु खंड को बिंदु एम के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि एक निश्चित बिंदु एफ से दूरी एमएफ का अनुपात एक निश्चित रेखा डी से दूरी एमपी से नहीं गुजरता है। बिंदु F स्थिर मान e के बराबर है: जहां F - शंकु अनुभाग का फोकस, सीधी रेखा d डायरेक्ट्रिक्स है, और अनुपात e विलक्षणता है। (यदि बिंदु F रेखा d से संबंधित है, तो स्थिति बिंदुओं के एक सेट को परिभाषित करती है जो रेखाओं की एक जोड़ी है, यानी, एक पतित शंकु खंड; e = 1 के लिए, रेखाओं की यह जोड़ी एक रेखा में विलीन हो जाती है। इसे साबित करने के लिए, विचार करें रेखा l के चारों ओर घूमने और इसे सीधी रेखा p के बिंदु O पर काटने से l के साथ कोण b बनने से बना एक शंकु< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности). आइए हम शंकु में एक गेंद K डालें, जो बिंदु F पर समतल p पर स्पर्शरेखा है और वृत्त S के अनुदिश शंकु पर स्पर्शरेखा है। हम वृत्त S के समतल y के साथ समतल p की प्रतिच्छेदन रेखा को d से निरूपित करते हैं। अब हम समतल पी और शंकु के प्रतिच्छेदन की रेखा ए पर स्थित एक मनमाना बिंदु एम को शंकु के शीर्ष ओ और बिंदु एफ के साथ जोड़ते हैं और एम से सीधी रेखा डी तक लंबवत एमपी को कम करते हैं; आइए हम वृत्त S के साथ शंकु के जेनरेट्रिक्स MO के प्रतिच्छेदन बिंदु को भी E से निरूपित करें। इस मामले में, एमएफ = एमई, एक बिंदु एम से खींची गई गेंद के के दो स्पर्शरेखाओं के खंड के रूप में। इसके अलावा, खंड ME शंकु के पी-अक्ष के साथ एक स्थिरांक (अर्थात्, बिंदु M की पसंद से स्वतंत्र) कोण b बनाता है, और खंड MP एक स्थिर कोण c बनाता है; इसलिए, पी अक्ष पर इन दो खंडों का प्रक्षेपण क्रमशः एमई कॉस बी और एमपी कॉस सी के बराबर है। लेकिन ये प्रक्षेपण मेल खाते हैं, क्योंकि खंड ME और MP का मूल मूल M समान है, और उनके सिरे p अक्ष के लंबवत y तल में स्थित हैं। इसलिए, ME cos b = MP cos c, या, चूँकि ME = MF, MF cos b = MP cos c, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह दिखाना भी आसान है कि यदि समतल p का कोई बिंदु M शंकु से संबंधित नहीं है, तो। इस प्रकार, एक लंब वृत्तीय शंकु के प्रत्येक खंड को समतल पर बिंदुओं के एक समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। दूसरी ओर, कोण b और c के मान को बदलकर, हम विलक्षणता को कोई भी मान e > 0 दे सकते हैं; इसके अलावा, समानता के विचार से यह समझना मुश्किल नहीं है कि फोकस से डायरेक्ट्रिक्स तक की दूरी FQ गेंद K की त्रिज्या r (या शीर्ष O से समतल p की दूरी d) के सीधे आनुपातिक है। शंकु). यह दिखाया जा सकता है कि, इस प्रकार, दूरी d को उचित रूप से चुनकर, हम दूरी FQ को कोई भी मान दे सकते हैं। इसलिए, बिंदु M का प्रत्येक सेट जिसके लिए M से एक निश्चित बिंदु F और एक निश्चित सीधी रेखा d की दूरी का अनुपात एक स्थिर मान है, को एक समतल द्वारा एक लंब वृत्तीय शंकु के खंड में प्राप्त वक्र के रूप में वर्णित किया जा सकता है। . इस प्रकार, यह साबित हो गया है कि (गैर-पतित) शंकु वर्गों को इस अनुच्छेद में चर्चा की गई संपत्ति द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। शंकु वर्गों के इस गुण को इन्हें कहा जाता है निर्देशकीय संपत्ति. यह स्पष्ट है कि यदि c > b, तो e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. दूसरी ओर, यह देखना आसान है कि यदि β > b, तो समतल p शंकु को एक बंद परिबद्ध रेखा के अनुदिश काटता है; यदि β = b, तो समतल p शंकु को एक असीमित रेखा के अनुदिश काटता है; मैं फ़िन< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17). शांकव खंड जिसके लिए ई< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 को हाइपरबोला कहा जाता है. दीर्घवृत्त में एक वृत्त भी शामिल होता है, जिसे निर्देशकीय संपत्ति द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है; चूँकि एक वृत्त के लिए अनुपात 0 हो जाता है (चूँकि इस मामले में β = 90є), पारंपरिक रूप से यह माना जाता है कि वृत्त 0 की विलक्षणता वाला एक शंक्वाकार खंड है। 6. शंकु वर्गों के रूप में दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय शंक्वाकार खंड दीर्घवृत्त अतिपरवलय प्राचीन यूनानी गणितज्ञ मेनैक्मस, जिन्होंने दीर्घवृत्त, हाइपरबोला और परबोला की खोज की, उन्हें जेनरेट्रिस में से एक के लंबवत विमान द्वारा गोलाकार शंकु के वर्गों के रूप में परिभाषित किया। उन्होंने शंकु के अक्षीय कोण के आधार पर परिणामी वक्रों को तीव्र, आयताकार और अधिक शंकु के खंड कहा। पहला, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, एक दीर्घवृत्त है, दूसरा एक परवलय है, तीसरा एक अतिपरवलय की एक शाखा है। अपोलोनियस द्वारा "एलिप्स", "हाइपरबोला" और "पैराबोला" नाम पेश किए गए थे। अपोलोनियस का काम "ऑन कॉनिक सेक्शन्स" लगभग पूरी तरह से (8 में से 7 किताबें) हम तक पहुंच गया है। इस कार्य में, अपोलोनियस शंकु के दोनों हिस्सों पर विचार करता है और शंकु को उन विमानों के साथ काटता है जो जरूरी नहीं कि जेनरेट्रिक्स में से किसी एक के लंबवत हों। प्रमेय.किसी भी सीधे वृत्ताकार शंकु को एक समतल (उसके शीर्ष से होकर नहीं गुजरने वाले) से काटकर, एक वक्र निर्धारित किया जाता है, जो केवल एक अतिपरवलय (चित्र 4), एक परवलय (चित्र 5) या एक दीर्घवृत्त (चित्र 6) हो सकता है। इसके अलावा, यदि समतल शंकु के केवल एक तल को बंद वक्र के अनुदिश काटता है, तो यह वक्र एक दीर्घवृत्त होता है; यदि एक समतल किसी खुले वक्र के अनुदिश केवल एक ही समतल को काटता है, तो यह वक्र एक परवलय है; यदि काटने वाला तल शंकु के दोनों तलों को काटता है, तो खंड में एक अतिपरवलय बनता है। इस प्रमेय का एक सुंदर प्रमाण 1822 में डेंडेलिन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने उन क्षेत्रों का उपयोग किया था जिन्हें अब आमतौर पर डेंडेलिन क्षेत्र कहा जाता है। आइए इस प्रमाण पर विचार करें। आइए हम शंकु में दो गोले डालें, जो अलग-अलग तरफ से अनुभाग विमान पी को छूते हैं। आइए हम गोले के साथ इस तल के संपर्क बिंदुओं को F1 और F2 द्वारा निरूपित करें। आइए हम समतल P द्वारा शंकु के खंड की रेखा पर एक मनमाना बिंदु M लें। हम M से गुजरने वाले शंकु के जेनरेट्रिक्स पर उन बिंदुओं P1 और P2 को चिह्नित करते हैं जो वृत्त k1 और k2 पर स्थित हैं, जिनके अनुदिश गोले शंकु को छूते हैं। यह स्पष्ट है कि MF1=MP1, M से निकलने वाले पहले गोले की दो स्पर्शरेखाओं के खंड के रूप में है; इसी प्रकार, MF2=MP2. इसलिए, MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = Р1Р2। खंड P1P2 की लंबाई हमारे अनुभाग के सभी बिंदुओं M के लिए समान है: यह एक काटे गए शंकु का जनरेटर है, जो समानांतर विमानों 1 और 11 द्वारा सीमित है, जिसमें वृत्त k1 और k2 स्थित हैं। नतीजतन, समतल P द्वारा शंकु के खंड की रेखा foci F1 और F2 के साथ एक दीर्घवृत्त है। इस प्रमेय की वैधता को सामान्य स्थिति के आधार पर भी स्थापित किया जा सकता है कि एक विमान के साथ दूसरे क्रम की सतह का प्रतिच्छेदन एक दूसरे क्रम की रेखा है। साहित्य
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रेखाओं y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2 से घिरी एक आकृति। विकल्प 2 1. तीन गेंदों की त्रिज्याएँ 6 सेमी, 8 सेमी, 10 सेमी हैं। एक गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका आयतन इन गेंदों के आयतन के योग के बराबर है। 2. शंकु का आधार क्षेत्रफल 9 सेमी 2 है, इसका कुल पृष्ठ क्षेत्रफल 24 सेमी 2 है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए। 3. O अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें एक्सरेखाओं y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4 से घिरी एक आकृति। 1. पिंडों के आयतन के गुणधर्म लिखिए। 2. ओए अक्ष के चारों ओर परिक्रमण करने वाले पिंड के आयतन की गणना करने के लिए एक सूत्र लिखें। निदान कार्य में दो भाग होते हैं, जिनमें 19 कार्य शामिल हैं। भाग 1 में संक्षिप्त उत्तर के साथ कठिनाई के बुनियादी स्तर के 8 कार्य शामिल हैं। भाग 2 में 4 कार्य हैं उच्च स्तर परसंक्षिप्त उत्तर और उन्नत के 7 कार्यों के साथ कठिनाइयाँ ऊंची स्तरोंविस्तृत उत्तर के साथ कठिनाइयाँ। पाठ का पाठ प्रतिलेख: हम स्टीरियोमेट्री के अनुभाग "रोटेशन के निकाय" का अध्ययन करना जारी रखते हैं। घूर्णन के निकायों में शामिल हैं: सिलेंडर, शंकु, गेंदें। आइए परिभाषाएँ याद रखें। ऊंचाई किसी आकृति या पिंड के शीर्ष से आकृति (शरीर) के आधार तक की दूरी है। अन्यथा, आकृति के शीर्ष और आधार को जोड़ने वाला एक खंड और उसके लंबवत। याद रखें, किसी वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको पाई को त्रिज्या के वर्ग से गुणा करना होगा। वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है. आइए याद करें कि व्यास जानकर वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? क्योंकि आइए इसे सूत्र में डालें: शंकु भी क्रांति का एक पिंड है। एक शंकु (अधिक सटीक रूप से, एक गोलाकार शंकु) एक पिंड है जिसमें एक वृत्त होता है - शंकु का आधार, एक बिंदु जो इस वृत्त के तल में नहीं है - शंकु का शीर्ष और शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंड आधार बिंदुओं के साथ शंकु. आइए शंकु का आयतन ज्ञात करने के सूत्र से परिचित हों। प्रमेय. एक शंकु का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है। आइए इस प्रमेय को सिद्ध करें। दिया गया: शंकु, एस - इसके आधार का क्षेत्र, एच - शंकु ऊंचाई सिद्ध करें: V= प्रमाण: आयतन V, आधार त्रिज्या R, ऊंचाई h और बिंदु O पर शीर्ष वाले एक शंकु पर विचार करें। आइए हम शंकु की धुरी - ओम के माध्यम से ऑक्स अक्ष का परिचय दें। ऑक्स अक्ष के लंबवत समतल द्वारा शंकु का एक मनमाना खंड एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु पर है एम1 - ऑक्स अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए हम इस वृत्त की त्रिज्या को R1 और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र को S(x) से निरूपित करें, जहाँ x बिंदु M1 का भुज है। समानता से समकोण त्रिभुजОМ1A1 और ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА सीधी रेखाएं हैं, ے MOA उभयनिष्ठ है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज दो कोणों पर समान हैं) यह इस प्रकार है चित्र से पता चलता है कि OM1=x, OM=h या जहां से, अनुपात के गुण से, हम R1 = पाते हैं। चूँकि क्रॉस-सेक्शन एक वृत्त है, तो S(x)=πR12, R1 के बजाय पिछली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें, क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र x के वर्ग से पाई एर वर्ग के उत्पाद के अनुपात के बराबर है ऊंचाई का: आइए मूल सूत्र लागू करें पिंडों के आयतन की गणना करते हुए, a=0, b=h के साथ, हमें अभिव्यक्ति (1) प्राप्त होती है चूँकि शंकु का आधार एक वृत्त है, शंकु के आधार का क्षेत्रफल S पाई एर वर्ग के बराबर होगा किसी पिंड के आयतन की गणना के सूत्र में, हम पाई एर वर्ग के मान को आधार के क्षेत्रफल से प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं कि शंकु का आयतन पिंड के क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है आधार और ऊंचाई प्रमेय सिद्ध हो चुका है। प्रमेय का परिणाम (काटे गए शंकु के आयतन का सूत्र) एक काटे गए शंकु का आयतन V, जिसकी ऊँचाई h है, और आधार S और S1 का क्षेत्रफल, सूत्र द्वारा गणना की जाती है Ve आधारों के क्षेत्रफलों के योग और आधारों के क्षेत्रफलों के गुणनफल के वर्गमूल से गुणा किए गए एक तिहाई अक्ष के बराबर है। समस्या को सुलझाना 3 सेमी और 4 सेमी पैरों वाला एक समकोण त्रिभुज कर्ण के चारों ओर घूमता है। परिणामी पिंड का आयतन निर्धारित करें। जब हम कर्ण के चारों ओर एक त्रिभुज घुमाते हैं, तो हमें एक शंकु मिलता है। इस समस्या को हल करते समय यह समझना महत्वपूर्ण है कि दो मामले संभव हैं। उनमें से प्रत्येक में हम शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: शंकु का आयतन आधार और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है पहले मामले में, चित्र इस तरह दिखेगा: एक शंकु दिया गया है। माना त्रिज्या r = 4, ऊंचाई h = 3 आधार का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के π गुना के बराबर है तब शंकु का आयतन त्रिज्या और ऊँचाई के वर्ग द्वारा π के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है। आइए मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करें, यह पता चलता है कि शंकु का आयतन 16π है। दूसरे मामले में, इस तरह: एक शंकु दिया गया। माना त्रिज्या r = 3, ऊंचाई h = 4 एक शंकु का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है: आधार का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के π गुना के बराबर है: तब शंकु का आयतन त्रिज्या और ऊँचाई के वर्ग द्वारा π के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है: मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, यह पता चलता है कि शंकु का आयतन 12π है। उत्तर: एक शंकु V का आयतन 16 π या 12 π है समस्या 2. 6 सेमी त्रिज्या वाला एक लंब वृत्तीय शंकु दिया गया है, कोण BCO = 45। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए। समाधान: इस समस्या के लिए एक तैयार चित्र प्रदान किया गया है। आइए शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र लिखें: आइए इसे आधार R की त्रिज्या के माध्यम से व्यक्त करें: हम निर्माण द्वारा h =BO पाते हैं - आयताकार, क्योंकि कोण BOC = 90 (त्रिभुज के कोणों का योग), आधार पर कोण बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज ΔBOC समद्विबाहु है और BO = OC = 6 सेमी है।
वे। इसकी अवतलता की ओर से.समान दस्तावेज़
y 2 = 4x; वाई = 0; एक्स = 4.
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=32π
गणित में नैदानिक कार्य को पूरा करने के लिए 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) आवंटित किए जाते हैं।
कार्य 1-12 के उत्तर पूर्णांक या परिमित संख्या के रूप में लिखे गए हैं दशमलव. कार्य के पाठ में उत्तर फ़ील्ड में संख्याएँ लिखें, और फिर उन्हें उत्तर प्रपत्र संख्या 1 में स्थानांतरित करें। कार्य 13-19 को पूरा करते समय, आपको संपूर्ण समाधान लिखना होगा और उत्तर प्रपत्र संख्या 2 में उत्तर देना होगा।
सभी फॉर्म चमकदार काली स्याही से भरे जाने चाहिए। आप जेल, केशिका या फाउंटेन पेन का उपयोग कर सकते हैं।
असाइनमेंट पूरा करते समय, आप ड्राफ्ट का उपयोग कर सकते हैं। कार्य की ग्रेडिंग करते समय ड्राफ्ट में प्रविष्टियों को ध्यान में नहीं रखा जाता है।
पूर्ण किए गए कार्यों के लिए आपको प्राप्त अंकों का सारांश दिया गया है।
हम आपकी सफलता की कामना करते हैं!समस्या की स्थितियाँ
बी) खंड से संबंधित इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें
ए) साबित करें कि क्रॉस-सेक्शन में परिणामी त्रिकोण अधिक है।
बी) केंद्र से दूरी ज्ञात करें के बारे मेंशंकु के आधार से अनुभाग तल तक।
ए) इसे साबित करें एमएन = एसी.
बी) खोजें ओएस,यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ एबीसी 5, 5 और 8 के बराबर हैं.
एक अनोखा समाधान है
क) क्या खेल ठीक तीन मोड़ तक चल सकता है?
ख) क्या दो प्रारंभिक संख्याएँ ऐसी हैं कि खेल कम से कम 9 चालों तक चलेगा?
ग) आन्या ने खेल में पहली चाल चली। प्राप्त दो संख्याओं के गुणनफल का गुणनफल से अधिकतम संभव अनुपात ज्ञात कीजिए
