पाठ संख्या 1 पाठ विषय: "भिन्न के हर में अतार्किकता से मुक्ति"

लक्ष्य:

शैक्षिक:

विकासात्मक:

शैक्षिक:अपने कार्यों में निरंतरता को बढ़ावा देना।

पाठ का प्रकार:नई चीजें सीखें

पाठ मानक:

अतार्किकता से छुटकारा पाने का रास्ता खोजने में सक्षम हो

"संयुग्मी अभिव्यक्ति" का अर्थ समझें

हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने में सक्षम हो।

उपकरण: स्वतंत्र कार्य के लिए कार्ड।

कक्षाओं के दौरान

थोड़ा हास्य:

क्या आप जानते हैं कि जड़ें कैसे निकाली जाती हैं? - शिक्षक से पूछता है

हाँ यकीनन। आपको पौधे के तने को जोर से खींचने की जरूरत है, और इसकी जड़ मिट्टी से निकल जाएगी।

नहीं, मेरा मतलब एक और जड़ से था, उदाहरण के लिए, नौ से।

यह "नौ" होगा, क्योंकि "वें" एक प्रत्यय है।

मेरा मतलब है वर्गमूल.

कोई वर्गमूल नहीं हैं. वे रेशेदार और छड़ जैसे होते हैं।

नौ का अंकगणितीय वर्गमूल.

वे यही कहेंगे! नौ का वर्गमूल = 3!

क्या आप जानते हैं कि जड़ें कैसे निकाली जाती हैं?

2. "दोहराव सीखने की जननी है।"

(8 मिनट)

2.घर/मकान की जाँच करना№ 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8

3.वार्म अप करें।चरणों का पालन करें (स्लाइड 1)। वामावर्त दिशा में एक गोले में चेक करें।

1. एक अज्ञात कारक चुनें (स्लाइड2)

समूहों में विभाजन: चयनित आंकड़ों के अनुसार।

प्रतिस्थापन संरचना के जोड़े की जाँच करें।

वे व्यक्तिगत रूप से काम करते हैं और बिंदुओं का आकलन करते हुए जांच करते हैं।

(परिशिष्ट 1)

3. "किताब तो किताब है, लेकिन अपने दिमाग का इस्तेमाल करें" (5 मिनट)

(स्लाइड 3) दो दोस्तों ने एक समीकरण हल किया
और अलग-अलग उत्तर प्राप्त हुए। उनमें से एक ने x = चुना , जाँच की। दूसरे ने उत्पाद को विभाजित करके अज्ञात कारक पाया
और x = प्राप्त हुआ . कौन सा सही है? क्या एक रैखिक समीकरण के दो मूल हो सकते हैं? गणना के लिए सबसे सुविधाजनक अभिव्यक्ति वह है जिसमें हर में अतार्किकता न हो।

पाठ विषय(स्लाइड 4) : भिन्न के हर में अतार्किकता से मुक्ति

लक्ष्य(स्लाइड 5) : भिन्न के हरों में अतार्किकता से छुटकारा पाने के तरीकों से परिचित हों। हर को अतार्किकता से मुक्त करने की क्षमता विकसित करना;

शिफ्टों के जोड़े में हल करें और जांचें।

वे स्थिति पर चर्चा करते हैं और किसी निष्कर्ष पर पहुंचते हैं।

विषय लिखिए

तैयार लक्ष्य: भिन्न के हरों में अतार्किकता से छुटकारा पाने के तरीकों से परिचित हों।

खुद को अतार्किकता से मुक्त करने का तरीका निर्धारित करने की क्षमता विकसित करना;

4. नई सामग्री पर काम करें.

(दस मिनट)

हर में अतार्किकता से कैसे छुटकारा पाएं? क्या आप जानना चाहते हैं?

नई सामग्री पर समूहों में काम करना

समूह प्रदर्शन

पिन करना (स्लाइड 6)

वे एक सहायक रूपरेखा के साथ काम करते हैं। (परिशिष्ट 2)

उदाहरण हल करें.

(परिशिष्ट 3)

विनिमय जानकारी।

5. चार्जिंग (3 मिनट)

अभ्यास करना

6. स्वतंत्र कार्य

(दस मिनट)

बहु-स्तरीय कार्ड द्वारा

में 1:

2-इंच:

3-इंच:

व्यक्तिगत रूप से प्रदर्शन करें, दूसरे समूह के साथ नोटबुक का आदान-प्रदान करके जाँच करें।

अंक समूह के स्कोरकार्ड में दर्ज किए जाते हैं।

(परिशिष्ट 1)

7.रचनात्मक कार्य

(दो मिनट)

बंदर - नारंगी विक्रेता (स्लाइड 7)

एक बार मेरे दचा में आने के बाद,

मुझे वहां कट्टरपंथियों से जुड़ी एक समस्या दिखी.

उसने उन्हें इधर-उधर फेंकना शुरू कर दिया।

हम आपसे पूछते हैं, लड़कियों और लड़कों,

बंदर की पूँछ पर समस्या का समाधान करें।

क्या आपको लगता है कि हमने इस विषय का अध्ययन पूरा कर लिया है? आइए अगले पाठ में जारी रखें।

वे इस बारे में बात करते हैं कि अगले पाठ में वे इसके बारे में क्या सीखेंगे।

8. गृहकार्य: (दो मिनट)

पी.19 (स्लाइड 7)

स्तर 1: संख्या 170 (1-6)

स्तर 2: संख्या 170 (1-6 और 9.12)

रचनात्मक कार्य: मार्टीश्किन का कार्य।

लिखो

9. पाठ सारांश. प्रतिबिंब

(3 मिनट)

स्टिकर पर दो सितारे और एक इच्छा चयनित इमोटिकॉन से जुड़ी हुई है (स्लाइड 7)

अंकों को एक ग्रेड में बदल दिया जाता है और शिक्षक को एक समूह स्कोरकार्ड दिया जाता है।

परिशिष्ट 1

समूह स्कोरकार्ड.

0-8 अंक

एक गुणक चुनें

0-8 अंक

नई सामग्री पर समूह में कार्य करना

0-5 अंक

खुद। काम

0-5 अंक

पाठ गतिविधि

0-5 अंक

परिशिष्ट 2

सहायक टिप्पणियाँ

यदि किसी बीजगणितीय भिन्न के हर में वर्गमूल चिह्न होता है, तो हर को अतार्किकता वाला कहा जाता है। किसी व्यंजक को ऐसे रूप में रूपांतरित करना कि भिन्न के हर में कोई वर्गमूल चिह्न न रहे, कहलाता है हर में अतार्किकता से मुक्ति

ये कई प्रकार के होते हैं तर्कहीनता अंशोंहर में. यह इसमें समान या भिन्न डिग्री के बीजगणितीय मूल की उपस्थिति से जुड़ा हुआ है। छुटकारा पाने के लिए तर्कहीनता, स्थिति के आधार पर कुछ गणितीय संक्रियाएँ करना आवश्यक है।

निर्देश

1. छुटकारा पाने से पहले तर्कहीनता अंशोंहर में आपको उसका प्रकार निर्धारित करना चाहिए और इसके आधार पर समाधान जारी रखना चाहिए। दरअसल, कोई भी अतार्किकता जड़ों की साधारण उपस्थिति से उत्पन्न होती है, उनके अलग-अलग संयोजन और डिग्री अलग-अलग एल्गोरिदम द्वारा मान ली जाती हैं।

2. हर का वर्गमूल, a/?b के रूप की अभिव्यक्ति?b के बराबर एक अतिरिक्त गुणनखंड दर्ज करें। भिन्न न बदले, इसके लिए अंश और हर दोनों को गुणा करना आवश्यक है: a/?b ? (ए ?बी)/बी.उदाहरण 1: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. पंक्ति के नीचे उपस्थिति अंशों m/n के रूप की एक भिन्नात्मक शक्ति की जड़, और n>mयह अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: a/?(b^m/n)।

4. समान से छुटकारा पाएं तर्कहीनतागुणक दर्ज करके भी, इस बार अधिक कठिन: b^(n-m)/n, यानी। मूल के घातांक में से ही उसके चिह्न के अंतर्गत व्यंजक की घात को घटाना आवश्यक है। तब हर में केवल पहली घात ही रहेगी: a/(b^m/n) ? ए ?(बी^(एन-एम)/एन)/बी। उदाहरण 2: 5/(4^3/5)? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. वर्गमूलों का योग दोनों घटकों को गुणा करें अंशोंसमान अंतर से. फिर, जड़ों के अपरिमेय योग से, हर मूल चिह्न के तहत भावों/संख्याओं के अंतर में बदल जाता है: a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c).उदाहरण 3: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 – ?23)/(13 – 23) = 9 (?23 – ?13)/10.

6. घनमूलों का योग/अंतर एक अतिरिक्त कारक के रूप में अंतर का अधूरा वर्ग चुनें यदि हर में एक योग है, और, तदनुसार, जड़ों के अंतर के लिए योग का अधूरा वर्ग: a/(?b ± ?c) ? a (?b? ? (b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ? सी?)/(बी ± सी).उदाहरण 4: 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. यदि समस्या में वर्ग और घनमूल दोनों हैं, तो समाधान को दो चरणों में विभाजित करें: चरणबद्ध तरीके से हर से वर्गमूल निकालें, और फिर घनमूल। यह आपको पहले से ज्ञात विधियों के अनुसार किया जाता है: पहली क्रिया में आपको मूलों के अंतर/योग का गुणक चुनना होगा, दूसरे में - योग/अंतर का अधूरा वर्ग।

टिप 2: हर में अतार्किकता से कैसे छुटकारा पाएं

भिन्नात्मक संख्या के लिए सही अंकन शामिल नहीं है तर्कहीनतावी भाजक. इस तरह के अंकन को दिखने में समझना आसान होता है, इसलिए, कब तर्कहीनतावी भाजकइससे छुटकारा पाना ही समझदारी है. इस मामले में, अतार्किकता अंश बन सकती है।

निर्देश

1. आरंभ करने के लिए, आइए एक आदिम उदाहरण देखें - 1/वर्ग(2)। 2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है भाजक.इस मामले में, आपको भिन्न के अंश और हर को उसके हर से गुणा करना होगा। इससे उचित संख्या मिलेगी भाजक. वास्तव में, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. 2 समान वर्गमूलों को एक दूसरे से गुणा करने पर सभी मूलों के अंतर्गत क्या होगा: इस मामले में, परिणाम: 1/sqrt (2) = (1*वर्ग(2))/(वर्ग(2)*वर्ग(2)) = वर्ग(2)/2. यह एल्गोरिदम भिन्नों के लिए भी उपयुक्त है भाजकजिसके मूल को एक उचित संख्या से गुणा किया जाता है। इस मामले में अंश और हर को स्थित मूल से गुणा किया जाना चाहिए भाजकउदाहरण: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

2. बेशक, ऐसा कुछ किया जाना चाहिए अगर भाजकयह वर्गमूल नहीं पाया जाता है, बल्कि मान लीजिए, घनमूल या कोई अन्य डिग्री पाई जाती है। में जड़ भाजकएक ही मूल से गुणा करना आवश्यक है, और अंश को भी एक ही मूल से गुणा किया जाता है। फिर मूल अंश में चला जाएगा.

3. अधिक कठिन मामले में भाजकएक अपरिमेय और एक उचित संख्या या 2 अपरिमेय संख्याओं का योग या अंतर होता है। 2 वर्गमूलों या एक वर्गमूल और एक उचित संख्या के योग (अंतर) के मामले में, आप प्रसिद्ध सूत्र (x+y) का उपयोग कर सकते हैं। )(x-y) = (x^2 )-(y^2). इससे आपको छुटकारा पाने में मदद मिलेगी तर्कहीनतावी भाजक. मैं फ़िन भाजकअंतर, तो आपको अंश और हर को समान संख्याओं के योग से गुणा करना होगा, यदि योग - तो अंतर से। इस गुणित योग या अंतर को अभिव्यक्ति से संयुग्मित कहा जाएगा भाजक.इस योजना का परिणाम उदाहरण में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2 )-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

4. मैं फ़िन भाजककोई योग (अंतर) हो जिसमें बड़ी डिग्री का मूल मौजूद हो तो स्थिति निरर्थक हो जाती है और मुक्ति मिल जाती है तर्कहीनतावी भाजकसदैव स्वीकार्य नहीं

युक्ति 3: भिन्न के हर में अतार्किकता से स्वयं को कैसे मुक्त करें

भिन्न में एक अंश होता है, जो रेखा के शीर्ष पर स्थित होता है, और एक हर, जिसे यह विभाजित करता है, सबसे नीचे स्थित होता है। अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे किसी रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता अंशोंअंश में एक पूर्णांक और एक प्राकृतिक संख्या के साथ भाजक. ऐसी संख्याएँ, मान लीजिए, 2 या पाई का वर्गमूल हैं। परंपरागत रूप से, जब अतार्किकता के बारे में बात की जाती है भाजक, जड़ निहित है।

निर्देश

1. हर से गुणा करके अतार्किकता को दूर करें। इस तरह अतार्किकता अंश में स्थानांतरित हो जाएगी। अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर, मान अंशोंबदलना मत। यदि प्रत्येक हर एक मूल है तो इस विकल्प का उपयोग करें।

2. मूल के आधार पर अंश और हर को हर से आवश्यक संख्या में गुणा करें। यदि मूल वर्गाकार है तो एक बार।

3. वर्गमूल उदाहरण पर विचार करें. अंश (56-y)/√(x+2) लें। इसका एक अंश (56-y) और एक अपरिमेय हर √(x+2) है, जो वर्गमूल है।

4. अंश और हर को गुणा करें अंशोंहर तक, अर्थात √(x+2) तक। मूल उदाहरण (56-y)/√(x+2) बन जाएगा ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). परिणाम ((56-y)*√(x+2))/(x+2) होगा। अब मूल अंश में है, और में भाजककोई अतार्किकता नहीं है.

5. निरपवाद रूप से हर नहीं अंशोंहर एक जड़ के नीचे है. सूत्र (x+y)*(x-y)=x²-y² का उपयोग करके अतार्किकता से छुटकारा पाएं।

6. भिन्न (56-y)/(√(x+2)-√y) वाले उदाहरण पर विचार करें। इसके अपरिमेय हर में 2 वर्गमूलों का अंतर होता है। (x+y)*(x-y) बनाने के लिए हर को पूरा करें।

7. हर को मूलों के योग से गुणा करें। मान प्राप्त करने के लिए अंश को उसी से गुणा करें अंशोंनहीं बदला है. अंश ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) का रूप लेगा ).

8. उपरोक्त संपत्ति (x+y)*(x-y)=x²-y² का लाभ उठाएं और हर को अतार्किकता से मुक्त करें। परिणाम ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y) होगा। अब मूल अंश में है, और हर को अतार्किकता से छुटकारा मिल गया है।

9. कठिन मामलों में, आवश्यकतानुसार उपयोग करते हुए इन दोनों विकल्पों को दोहराएं। ध्यान दें कि अतार्किकता से छुटकारा पाना हमेशा संभव नहीं होता है भाजक .

एक बीजगणितीय अंश ए/बी रूप की एक अभिव्यक्ति है, जहां अक्षर ए और बी किसी भी संख्या या अक्षर अभिव्यक्ति के लिए खड़े हैं। अक्सर बीजीय भिन्नों में अंश और हर का आकार बड़ा होता है, लेकिन ऐसे भिन्नों के साथ संचालन सामान्य अंशों के साथ क्रियाओं के समान नियमों के अनुसार किया जाना चाहिए, जहां अंश और हर सकारात्मक पूर्णांक होते हैं।

निर्देश

1. अगर मिलाकर दिया जाए अंशों, उन्हें अनियमित भिन्नों में परिवर्तित करें (एक भिन्न जिसमें अंश हर से बड़ा होता है): हर को पूरे भाग से गुणा करें और अंश जोड़ें। तो संख्या 2 1/3 7/3 में बदल जाएगी। ऐसा करने के लिए, 3 को 2 से गुणा करें और एक जोड़ें।

2. यदि आपको दशमलव को अनुचित भिन्न में बदलने की आवश्यकता है, तो इसे दशमलव बिंदु के बिना एक संख्या को उतने ही शून्य से विभाजित करने के रूप में सोचें, जितनी दशमलव बिंदु के बाद संख्याएँ हैं। मान लीजिए, संख्या 2.5 को 25/10 के रूप में कल्पना करें (यदि आप इसे छोटा करते हैं, तो आपको 5/2 मिलता है), और संख्या 3.61 - 361/100 के रूप में कल्पना करें। मिश्रित या दशमलव भिन्नों की तुलना में अनुचित भिन्नों के साथ काम करना अक्सर आसान होता है।

3. यदि भिन्नों के हर समान हों और आपको उन्हें जोड़ने की आवश्यकता हो, तो बस अंशों को जोड़ें; हर अपरिवर्तित रहते हैं.

4. यदि आपको समान हर वाली भिन्नों को घटाना है, तो दूसरी भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाएँ। हर भी नहीं बदलता.

5. यदि आपको भिन्नों को जोड़ने या एक भिन्न को दूसरे भिन्न से घटाने की आवश्यकता है, और उनके हर अलग-अलग हैं, तो भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करें। ऐसा करने के लिए, एक ऐसी संख्या ढूंढें जो दोनों हरों का सबसे छोटा सार्वभौमिक गुणक (एलसीएम) होगा या यदि भिन्न 2 से बड़े हैं तो कई होंगे। एलसीएम एक संख्या है जिसे सभी दिए गए भिन्नों के हरों में विभाजित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, 2 और 5 के लिए यह संख्या 10 है।

6. समान चिह्न के बाद, एक क्षैतिज रेखा खींचें और इस संख्या (NOC) को हर में लिखें। संपूर्ण पद में अतिरिक्त गुणनखंड जोड़ें - वह संख्या जिससे आपको एलसीएम प्राप्त करने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करना होगा। जोड़ या घटाव के चिह्न को संरक्षित करते हुए अंशों को चरण दर चरण अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

7. कुल की गणना करें, यदि आवश्यक हो तो इसे कम करें, या संपूर्ण भाग का चयन करें। उदाहरण के लिए, क्या आपको इसे मोड़ने की ज़रूरत है? और?। दोनों भिन्नों का LCM 12 है। फिर पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 4 है, दूसरे भिन्न के लिए - 3. कुल: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. यदि गुणन के लिए एक उदाहरण दिया गया है, तो अंशों (यह कुल का अंश होगा) और हर (यह कुल का हर होगा) को एक साथ गुणा करें। इस मामले में, उन्हें एक सामान्य भाजक तक कम करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

9. किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न को उल्टा करना होगा और भिन्नों को गुणा करना होगा। अर्थात्, ए/बी: सी/डी = ए/बी · डी/सी।

10. आवश्यकतानुसार अंश और हर का गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए, सार्वभौम कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें या संक्षिप्त गुणन सूत्रों के अनुसार इसका विस्तार करें, ताकि इसके बाद, यदि आवश्यक हो, तो आप अंश और हर को जीसीडी - न्यूनतम सार्वभौमिक विभाजक द्वारा कम कर सकें।

टिप्पणी!
संख्याओं को संख्याओं के साथ जोड़ें, एक ही प्रकार के अक्षरों को एक ही प्रकार के अक्षरों के साथ जोड़ें। मान लीजिए कि 3a और 4b को जोड़ना असंभव है, जिसका अर्थ है कि उनका योग या अंतर अंश में रहेगा - 3a±4b।

रोजमर्रा की जिंदगी में, नकली संख्याएं अधिक आम हैं: 1, 2, 3, 4, आदि। (5 किलो आलू), और भिन्नात्मक, गैर-पूर्णांक संख्याएँ (5.4 किलो प्याज)। उनमें से कई को प्रस्तुत किया गया है रूपदशमलव भाग। लेकिन दशमलव अंश का प्रतिनिधित्व करें रूप अंशोंबहुत आसान।

निर्देश

1. मान लीजिए संख्या "0.12" दी गई है। यदि आप इस दशमलव अंश को कम नहीं करते हैं और इसे वैसे ही प्रस्तुत करते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: 12/100 ("बारह सौवां")। हर में सौ से छुटकारा पाने के लिए, आपको अंश और हर दोनों को एक संख्या से विभाजित करना होगा जो उन्हें पूर्णांकों में विभाजित करती है। यह संख्या 4 है। फिर, अंश और हर को विभाजित करने पर, हमें संख्या प्राप्त होती है: 3/25।

2. यदि हम रोजमर्रा की जिंदगी पर अधिक ध्यान दें, तो हम अक्सर उत्पादों के मूल्य टैग पर देख सकते हैं कि इसका वजन, उदाहरण के लिए, 0.478 किलोग्राम या इससे भी अधिक है, इस संख्या की कल्पना करना भी आसान है रूप अंशों:478/1000 = 239/500. यह अंश काफी बदसूरत है, और यदि इसकी संभावना होती तो इस दशमलव अंश को और भी कम करने की अनुमति दी जाती। और सब कुछ उसी तरह: एक ऐसी संख्या का चयन करना जो अंश और हर दोनों को विभाजित करती है। इस संख्या को सबसे बड़ा सार्वभौमिक कारक कहा जाता है। गुणनखंड को "सबसे बड़ा" नाम दिया गया है क्योंकि इसे 2 से दो बार विभाजित करने की तुलना में अंश और हर दोनों को तुरंत 4 से विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है (जैसा कि पहले उदाहरण में है)।

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दशमलव अंश- विविधता अंशों, जिसके हर में एक "गोल" संख्या है: 10, 100, 1000, आदि, मान लीजिए, अंश 5/10 में 0.5 का दशमलव अंकन है। इस थीसिस के आधार पर, अंशदशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है अंशों .

निर्देश

1. संभव है, दशमलव के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है अंश 18/25। सबसे पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि हर में "गोल" संख्याओं में से एक दिखाई दे: 100, 1000, आदि। ऐसा करने के लिए, आपको हर को 4 से गुणा करना होगा। लेकिन आपको अंश और हर दोनों को 4 से गुणा करना होगा।

2. अंश और हर को गुणा करना अंशों 18/25 बटा 4, यह 72/100 निकला। यह रिकार्ड किया गया है अंशदशमलव रूप में: 0.72.

2 दशमलव भिन्नों को विभाजित करते समय, जब हाथ में कोई कैलकुलेटर नहीं होता है, तो कई लोगों को कुछ कठिनाइयों का अनुभव होता है। यहाँ वास्तव में कुछ भी कठिन नहीं है। दशमलव अंशोंउन्हें ऐसे कहा जाता है यदि उनके हर में एक संख्या होती है जो 10 का गुणज होती है। हमेशा की तरह, ऐसी संख्याएँ एक पंक्ति में लिखी जाती हैं और आंशिक भाग को पूर्ण से अलग करने के लिए अल्पविराम होता है। जाहिरा तौर पर एक भिन्नात्मक भाग की उपस्थिति के कारण, जो दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या में भी भिन्न होता है, कई लोगों को यह स्पष्ट नहीं है कि कैलकुलेटर के बिना ऐसी संख्याओं के साथ गणितीय संचालन कैसे किया जाए।

आपको चाहिये होगा

• कागज की शीट, पेंसिल

निर्देश

1. यह पता चला है कि एक दशमलव अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को देखना होगा और यह निर्धारित करना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद उनमें से किसमें अधिक अंक हैं। हम दोनों संख्याओं को एक ऐसी संख्या से गुणा करते हैं जो 10 का गुणज है, अर्थात। 10, 1000 या 100000, जिसमें शून्य की संख्या हमारी 2 प्रारंभिक संख्याओं में से एक के दशमलव बिंदु के बाद अंकों की बड़ी संख्या के बराबर होती है। अब दोनों दशमलव हैं अंशोंसाधारण पूर्णांकों में बदल गया। एक पेंसिल के साथ कागज की एक शीट लें और दो परिणामी संख्याओं को एक "कोने" से अलग करें। हमें परिणाम मिलता है.

2. मान लीजिए कि हमें संख्या 7.456 को 0.43 से विभाजित करना है। पहली संख्या में अधिक दशमलव स्थान (3 दशमलव स्थान) हैं, इसलिए हम दोनों संख्याओं को 1000 से गुणा करते हैं और दो आदिम पूर्णांक प्राप्त करते हैं: 7456 और 430। अब हम 7456 को एक "कोने" से 430 से विभाजित करते हैं और हमें यह मिलता है कि यदि 7.456 को विभाजित किया जाता है 0.43 तक यह लगभग 17.3 निकलेगा।

3. विभाजन की एक और विधि है. दशमलव लिखना अंशोंअंश और हर के साथ आदिम भिन्नों के रूप में, हमारे मामले के लिए ये 7456/1000 और 43/100 हैं। बाद में, हम 2 आदिम भिन्नों को विभाजित करने के लिए अभिव्यक्ति लिखते हैं: 7456*100/1000*43, उसके बाद हम दहाई को कम करते हैं, हमें मिलता है: 7456/10*43 = 7456/430 अंतिम आउटपुट में हमें फिर से विभाजन मिलता है 2 आदिम संख्याएँ 7456 और 430, जिन्हें एक "कोने" से उत्पादित किया जा सकता है।

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मददगार सलाह
इस प्रकार, दशमलव भिन्नों को विभाजित करने का तरीका यह है कि उनमें से प्रत्येक को समान संख्या से गुणा करने के समर्थन के साथ, उन्हें पूर्ण संख्याओं में घटाया जाए। हमेशा की तरह, पूर्णांकों के साथ संक्रियाएँ निष्पादित करने से किसी को कोई कठिनाई नहीं होती है।

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एक अपरिमेय अभिव्यक्ति के परिवर्तनों का अध्ययन करते समय, एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न यह है कि भिन्न के हर में अपरिमेयता से कैसे छुटकारा पाया जाए। इस आलेख का उद्देश्य विशिष्ट उदाहरण समस्याओं का उपयोग करके इस क्रिया को समझाना है। पहले पैराग्राफ में हम इस परिवर्तन के बुनियादी नियमों को देखेंगे, और दूसरे में - विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ विशिष्ट उदाहरण।

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हर में अतार्किकता से मुक्ति की अवधारणा

आइए यह समझाकर आरंभ करें कि ऐसे परिवर्तन का अर्थ क्या है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित प्रावधानों को याद रखें।

हम भिन्न के हर में अतार्किकता के बारे में बात कर सकते हैं यदि वहां कोई मूलांक हो, जिसे मूल का चिह्न भी कहा जाता है। इस चिन्ह का उपयोग करके लिखी गई संख्याएँ अक्सर अतार्किक होती हैं। उदाहरण होंगे 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. अपरिमेय हर वाले भिन्नों में वे भिन्न भी शामिल होते हैं जिनमें विभिन्न डिग्री (वर्ग, घन, आदि) की जड़ों के संकेत होते हैं, उदाहरण के लिए, 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y। अभिव्यक्ति को सरल बनाने और आगे की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए आपको अतार्किकता से छुटकारा पाना चाहिए। आइए मूल परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा 1

भिन्न के हर में अतार्किकता से स्वयं को मुक्त करें- इसका अर्थ है इसे एक समान समान भिन्न से प्रतिस्थापित करके रूपांतरित करना, जिसके हर में मूल या घात नहीं हैं।

इस तरह की कार्रवाई को मुक्ति या अतार्किकता से छुटकारा कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है। तो, 1 2 से 2 2 तक संक्रमण, यानी। हर में मूल चिह्न के बिना समान मान वाले भिन्न के लिए और वह क्रिया होगी जिसकी हमें आवश्यकता है। आइए एक और उदाहरण दें: हमारे पास एक भिन्न x x - y है। आइए हम आवश्यक परिवर्तन करें और हर में अतार्किकता से खुद को मुक्त करते हुए एक सर्वमान्य समान भिन्न x · x + y x - y प्राप्त करें।

परिभाषा तैयार करने के बाद, हम ऐसे परिवर्तन के लिए किए जाने वाले कार्यों के अनुक्रम का अध्ययन करने के लिए सीधे आगे बढ़ सकते हैं।

भिन्न के हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने के लिए बुनियादी कदम

जड़ों से छुटकारा पाने के लिए, आपको भिन्न के दो क्रमिक परिवर्तन करने होंगे: भिन्न के दोनों भागों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करें, और फिर हर में प्राप्त अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें। आइए मुख्य मामलों पर विचार करें।

सरलतम स्थिति में, आप हर को रूपांतरित करके कार्य पूरा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम 9 के मूल के बराबर हर वाली भिन्न ले सकते हैं। 9 की गणना करने के बाद, हम हर में 3 लिखते हैं और इस प्रकार अतार्किकता से छुटकारा पाते हैं।

हालाँकि, बहुत बार यह आवश्यक होता है कि पहले अंश और हर को एक संख्या से गुणा किया जाए जिससे हर को वांछित रूप (बिना जड़ों के) में लाया जा सके। इसलिए, यदि हम 1 x + 1 को x + 1 से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्न x + 1 x + 1 x + 1 मिलता है और हम इसके हर में अभिव्यक्ति को x + 1 से बदल सकते हैं। इसलिए हमने अतार्किकता से छुटकारा पाते हुए 1 x + 1 को x + 1 x + 1 में बदल दिया।

कभी-कभी आपको जो परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है वे काफी विशिष्ट होते हैं। आइए कुछ उदाहरणात्मक उदाहरण देखें।

किसी व्यंजक को भिन्न के हर में कैसे बदलें

जैसा कि हमने कहा, ऐसा करने का सबसे आसान तरीका हर को परिवर्तित करना है।

उदाहरण 1

स्थिति:भिन्न 1 2 · 18 + 50 को हर में अतार्किकता से मुक्त करें।

समाधान

सबसे पहले, आइए कोष्ठक खोलें और व्यंजक 1 2 18 + 2 50 प्राप्त करें। जड़ों के मूल गुणों का उपयोग करते हुए, हम अभिव्यक्ति 1 2 18 + 2 50 पर आगे बढ़ते हैं। हम मूलों के अंतर्गत दोनों भावों के मानों की गणना करते हैं और 1 36 + 100 प्राप्त करते हैं। यहां आप पहले से ही जड़ें निकाल सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 1 16 के बराबर भिन्न 1 6 + 10 प्राप्त हुआ। परिवर्तन यहां पूरा किया जा सकता है.

आइए बिना किसी टिप्पणी के संपूर्ण समाधान की प्रगति लिखें:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

उत्तर: 1 2 18 + 50 = 1 16.

उदाहरण 2

स्थिति:भिन्न 7 - x (x + 1) 2 दिया गया है। हर में अतार्किकता से छुटकारा पाएं।

समाधान

इससे पहले जड़ों के गुणों का उपयोग करके अपरिमेय अभिव्यक्तियों के परिवर्तनों के लिए समर्पित लेख में, हमने उल्लेख किया था कि किसी भी ए और यहां तक ​​कि एन के लिए हम अभिव्यक्ति ए एन एन को | के साथ प्रतिस्थापित कर सकते हैं। ए | चरों के अनुमेय मानों की संपूर्ण श्रृंखला पर। इसलिए, हमारे मामले में हम इसे इस तरह लिख सकते हैं: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. इस तरह हमने हर में अतार्किकता से खुद को मुक्त कर लिया।

उत्तर: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1।

जड़ से गुणा करके अतार्किकता से छुटकारा पाना

यदि किसी भिन्न के हर में A रूप का व्यंजक हो और स्वयं A में मूल का चिह्न न हो, तो हम मूल भिन्न के दोनों पक्षों को A से गुणा करके स्वयं को अतार्किकता से मुक्त कर सकते हैं। इस कार्रवाई की संभावना इस तथ्य से निर्धारित होती है कि A स्वीकार्य मानों की सीमा में 0 पर नहीं आएगा। गुणन के बाद, हर में ए · ए के रूप की अभिव्यक्ति होगी, जिससे जड़ों से छुटकारा पाना आसान है: ए · ए = ए 2 = ए। आइए देखें कि इस पद्धति को व्यवहार में सही ढंग से कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 3

स्थिति:दिए गए भिन्न x 3 और - 1 x 2 + y - 4. उनके हरों में अतार्किकता से छुटकारा पाएं।

समाधान

आइए पहले भिन्न को 3 के दूसरे मूल से गुणा करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

एक्स 3 = एक्स 3 3 3 = एक्स 3 3 2 = एक्स 3 3

दूसरे मामले में, हमें x 2 + y - 4 से गुणा करना होगा और परिणामी अभिव्यक्ति को हर में बदलना होगा:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

उत्तर: x 3 = x · 3 3 और - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4।

यदि मूल भिन्न के हर में ए एन एम या ए एम एन (प्राकृतिक एम और एन के अधीन) के रूप के भाव शामिल हैं, तो हमें एक कारक चुनने की आवश्यकता है ताकि परिणामी अभिव्यक्ति को ए एन एन के या ए एन के एन (प्राकृतिक एम और एन के अधीन) में परिवर्तित किया जा सके क) । इसके बाद अतार्किकता से छुटकारा पाना आसान हो जाएगा। आइए इस उदाहरण को देखें.

उदाहरण 4

स्थिति:भिन्न 7 6 3 5 और x x 2 + 1 4 15 दिए गए हैं। हर में अतार्किकता से छुटकारा पाएं।

समाधान

हमें एक प्राकृतिक संख्या लेने की आवश्यकता है जिसे पाँच से विभाजित किया जा सके, और यह तीन से अधिक होनी चाहिए। घातांक 6 को 5 के बराबर करने के लिए, हमें 6 2 5 से गुणा करना होगा। इसलिए, हमें मूल भिन्न के दोनों भागों को 6 2 5 से गुणा करना होगा:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

दूसरे मामले में, हमें 15 से बड़ी संख्या की आवश्यकता है, जिसे बिना किसी शेषफल के 4 से विभाजित किया जा सके। हम 16 लेते हैं. हर में ऐसा घातांक प्राप्त करने के लिए, हमें x 2 + 1 4 को एक गुणनखंड के रूप में लेना होगा। हम स्पष्ट कर दें कि इस अभिव्यक्ति का मान किसी भी स्थिति में 0 नहीं होगा। हम गणना करते हैं:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = एक्स एक्स 2 + 1 4 एक्स 2 + 1 4

उत्तर: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 और x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4।

संयुग्मी अभिव्यक्ति से गुणा करके अतार्किकता से छुटकारा पाना

निम्नलिखित विधि उन मामलों के लिए उपयुक्त है जब मूल भिन्न के हर में भाव a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b होते हैं। ऐसे मामलों में, हमें संयुग्मी अभिव्यक्ति को एक कारक के रूप में लेने की आवश्यकता है। आइए हम इस अवधारणा का अर्थ समझाएं।

पहली अभिव्यक्ति ए + बी के लिए संयुग्मी ए - बी होगा, दूसरे ए - बी - ए + बी के लिए। ए + बी के लिए - ए - बी, ए - बी के लिए - ए + बी, ए + बी के लिए - ए - बी, और ए - बी - ए + बी के लिए। दूसरे शब्दों में, संयुग्मी अभिव्यक्ति वह अभिव्यक्ति है जिसमें दूसरे पद से पहले विपरीत चिह्न आता है।

आइए देखें कि वास्तव में यह तरीका क्या है। मान लीजिए कि हमारे पास a - b · a + b रूप का एक उत्पाद है। इसे वर्गों के अंतर a - b · a + b = a 2 - b 2 से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसके बाद हम रेडिकल से रहित अभिव्यक्ति a - b पर आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, हमने संयुग्मी अभिव्यक्ति से गुणा करके भिन्न के हर में अतार्किकता से खुद को मुक्त कर लिया। आइए कुछ उदाहरणात्मक उदाहरण लें।

उदाहरण 5

स्थिति:अभिव्यक्ति 3 7 - 3 और x - 5 - 2 में अतार्किकता से छुटकारा पाएं।

समाधान

पहले मामले में, हम संयुग्मी अभिव्यक्ति को 7 + 3 के बराबर लेते हैं। अब हम मूल भिन्न के दोनों भागों को इससे गुणा करते हैं:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

दूसरे मामले में, हमें अभिव्यक्ति - 5 + 2 की आवश्यकता है, जो अभिव्यक्ति - 5 - 2 का संयुग्म है। अंश और हर को इससे गुणा करें और प्राप्त करें:

एक्स - 5 - 2 = एक्स · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = एक्स · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = एक्स · - 5 + 2 5 - 2 = एक्स · 2 - 5 3

गुणा करने से पहले परिवर्तन करना भी संभव है: यदि हम पहले हर से ऋण हटा दें, तो गणना करना अधिक सुविधाजनक होगा:

एक्स - 5 - 2 = - एक्स 5 + 2 = - एक्स 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - एक्स 5 - 2 5 2 - 2 2 = - एक्स 5 - 2 5 - 2 = - एक्स · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

उत्तर: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 और x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

इस तथ्य पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि गुणन के परिणामस्वरूप प्राप्त अभिव्यक्ति इस अभिव्यक्ति के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा में किसी भी चर के लिए 0 नहीं बनती है।

उदाहरण 6

स्थिति:भिन्न x x + 4 दिया गया है। इसे रूपांतरित करें ताकि हर में कोई अपरिमेय अभिव्यक्ति न हो।

समाधान

आइए वेरिएबल x के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा ज्ञात करके प्रारंभ करें। इसे शर्तों x ≥ 0 और x + 4 ≠ 0 द्वारा परिभाषित किया गया है। उनसे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वांछित क्षेत्र एक समुच्चय x ≥ 0 है।

हर का संयुग्मक x - 4 है। हम इससे कब गुणा कर सकते हैं? केवल यदि x - 4 ≠ 0. स्वीकार्य मानों की सीमा में, यह शर्त x≠16 के बराबर होगा। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित मिलता है:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

यदि x 16 के बराबर है, तो हमें मिलता है:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

इसलिए, 16 के अपवाद के साथ, स्वीकार्य मानों की सीमा से संबंधित x के सभी मानों के लिए x x + 4 = x · x - 4 x - 16। x = 16 पर हमें x x + 4 = 2 प्राप्त होता है।

उत्तर: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

घन सूत्रों के योग और अंतर का उपयोग करके हर में अपरिमेयता के साथ भिन्नों को परिवर्तित करना

पिछले पैराग्राफ में, हमने वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करने के लिए संयुग्मी अभिव्यक्तियों से गुणा किया। कभी-कभी, हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने के लिए, अन्य संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, घनों का अंतर ए 3 − बी 3 = (ए − बी) (ए 2 + ए बी + बी 2). इस सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक है यदि मूल अंश के हर में ए 3 - बी 3, ए 3 2 + ए 3 · बी 3 + बी 3 2 के रूप की तीसरी डिग्री की जड़ों के साथ अभिव्यक्तियां शामिल हैं। वगैरह। इसे लागू करने के लिए, हमें भिन्न के हर को योग A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 या अंतर A 3 - B 3 के आंशिक वर्ग से गुणा करना होगा। योग सूत्र को इसी प्रकार लागू किया जा सकता है ए 3 + बी 3 = (ए) (ए 2 - ए बी + बी 2).

उदाहरण 7

स्थिति:भिन्नों 1 7 3 - 2 3 और 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 को रूपांतरित करें ताकि हर में अतार्किकता से छुटकारा मिल सके।

समाधान

पहले भिन्न के लिए, हमें दोनों भागों को योग 7 3 और 2 3 के आंशिक वर्ग से गुणा करने की विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है, क्योंकि फिर हम घन सूत्र के अंतर का उपयोग करके परिवर्तित कर सकते हैं:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

दूसरे भिन्न में हम हर को 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 के रूप में निरूपित करते हैं। यह अभिव्यक्ति अंतर 2 और x 3 के अपूर्ण वर्ग को दर्शाती है, जिसका अर्थ है कि हम भिन्न के दोनों भागों को 2 + x 3 के योग से गुणा कर सकते हैं और घनों के योग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, शर्त 2 + x 3 ≠ 0 को पूरा करना होगा, जो x 3 ≠ - 2 और x ≠ - 8 के बराबर है:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

आइए भिन्न में 8 रखें और मान ज्ञात करें:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

आइए संक्षेप करें. -8 के अपवाद के साथ, मूल भिन्न (सेट आर) के मानों की श्रेणी में शामिल सभी x के लिए, हमें 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x मिलता है। यदि x = 8, तो 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

उत्तर: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

विभिन्न रूपांतरण विधियों का लगातार अनुप्रयोग

अक्सर व्यवहार में अधिक जटिल उदाहरण होते हैं जब हम केवल एक विधि का उपयोग करके हर में अतार्किकता से खुद को मुक्त नहीं कर पाते हैं। उनके लिए, आपको लगातार कई परिवर्तन करने या गैर-मानक समाधान चुनने की आवश्यकता है। आइये ऐसी ही एक समस्या को लेते हैं।

उदाहरण एन

स्थिति:हर में मूल के चिन्हों से छुटकारा पाने के लिए 5 7 4 - 2 4 को रूपांतरित करें।

समाधान

आइए मूल भिन्न के दोनों पक्षों को गैर-शून्य मान वाले संयुग्म अभिव्यक्ति 7 4 + 2 4 से गुणा करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

आइए अब दोबारा उसी विधि का उपयोग करें:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

उत्तर: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

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भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्ति को परिवर्तित करते समय, जिसके हर में एक अपरिमेय अभिव्यक्ति होती है, व्यक्ति आमतौर पर भिन्न का प्रतिनिधित्व करने का प्रयास करता है ताकि उसका हर तर्कसंगत हो। यदि A,B,C,D,... कुछ बीजीय व्यंजक हैं, तो आप ऐसे नियम निर्दिष्ट कर सकते हैं जिनकी सहायता से आप प्रपत्र के व्यंजकों के हर में मूल चिह्नों से छुटकारा पा सकते हैं

इन सभी मामलों में, भिन्न के अंश और हर को चुने हुए कारक से गुणा करके अतार्किकता से मुक्ति प्राप्त की जाती है ताकि भिन्न के हर द्वारा इसका उत्पाद तर्कसंगत हो।

1) भिन्न रूप के हर में अतार्किकता से छुटकारा पाना। अंश और हर को इससे गुणा करें

उदाहरण 1। ।

2) रूप के भिन्नों के मामले में। अंश और हर को एक अपरिमेय गुणनखंड से गुणा करें

क्रमशः, यानी संयुग्मित अपरिमेय अभिव्यक्ति के लिए।

अंतिम क्रिया का अर्थ यह है कि हर में योग और अंतर का गुणनफल वर्गों के अंतर में बदल जाता है, जो पहले से ही एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति होगी।

उदाहरण 2. अभिव्यक्ति के हर में अतार्किकता से स्वयं को मुक्त करें:

समाधान, ए) भिन्न के अंश और हर को अभिव्यक्ति से गुणा करें। हमें मिलता है (बशर्ते कि)

3) जैसे भावों के मामले में

हर को योग (अंतर) के रूप में माना जाता है और घनों ((20.11), (20.12)) का योग (अंतर) प्राप्त करने के लिए अंतर (योग) के आंशिक वर्ग से गुणा किया जाता है। अंश को भी उसी गुणनखंड से गुणा किया जाता है।

उदाहरण 3. भावों के हर में अतार्किकता से स्वयं को मुक्त करें:

समाधान, a) किसी दिए गए भिन्न के हर को संख्याओं और 1 का योग मानकर, अंश और हर को इन संख्याओं के अंतर के आंशिक वर्ग से गुणा करें:

या अंत में:

कुछ मामलों में, विपरीत प्रकृति का परिवर्तन करना आवश्यक है: अंश को अंश में अतार्किकता से मुक्त करना। इसे बिल्कुल उसी तरह से अंजाम दिया जाता है.

उदाहरण 4. भिन्न के अंश में अतार्किकता से स्वयं को मुक्त करें।