Координаты гаусса. Практическая картография Использование библиотеки PROJ.4

Эта проекция была разработана немецким математиком Гауссом в 1820-30 гг. для картографирования Германии - так называемой ганноверской триангуляции. Но как истинно великий математик, он решил эту частную задачу в общем виде и сделал проекцию, пригодную для картографирования всей Земли. Математическое описание проекции было опубликовано в 1866 г. В 1912-19 гг. другой немецкий математик Крюгер провел исследование этой проекции и разработал для нее новый, более удобный математический аппарат. С этого времени проекция называется по их именам - проекцией Гаусса-Крюгера. По своему типу проекция является симметричной относительно среднего меридиана, равноугольной, равновеликой на среднем меридиане. Проекция не является строго равновеликой и имеет свойство немного завышать истинную величину площади по мере удаления от среднего меридиана. Величину искажений можно оценить аналитически.

В пределах каждой 6-градусной зоны определяется прямоугольная система координат Гаусса-Крюгера, где координаты отсчитываются в метрах от среднего меридиана зоны и от экватора. Прямоугольная система координат показана на следующем рисунке. Оси этой системы имеют обозначение: ось Y имеет направление на восток (вправо), а ось X направлена на север (вверх) вдоль среднего меридиана. Такое обозначение осей кажется немного непривычным, но так принято в геодезии. В северном полушарии координата X всегда положительна, а чтобы избежать путаницы с положительными-отрицательными значениями координаты Y при отсчете ее от среднего меридиана зоны, был принят искусственный сдвиг начала координат на 500 000 метров в западном направлении, как показано на рисунке ниже. Чтобы сделать значения координат Гаусса-Крюгера однозначными, к координате Y дописывается слева номер зоны. В результате координаты имеют следующий вид: Y = 7 421 350 м - 7 зона, на ~80 км западнее среднего меридиана зоны 7 ; X = 6 177 200 м - это просто расстояние от экватора по меридиану. Эта точка приблизительно соответствует расположению здания Центрлеспроекта в Москве. Осевой меридиан зоны 7 имеет восточную долготу 39 градусов.
Прямоугольные кординаты Гаусса-Крюгера в пределах зоны: оси Y и X и и искусственное смещение на 500 км
Координата Y точки L 500 000


В соответствии с принятой терминалогией деление зоны на листы навывается разграфкой, а система нумерации листов - номенклатурой. Упомянутая выше точка лежит на листе топокарты масштаба 1: 1 000 000 с номенклатурным номером N-37. Разграфка и базовая номенклатура карт на территории России показана на рисунке.


Разграфка и базовая номенклатура карт масштаба 1: 1 000 000
Обратите внимание, что номера зон проекции Гаусса-Крюгера (в координатах) не совпадают с номенклатурными номерами тех же зон (на картах), величина сдвига равна 30. Зоны принято отсчитывать от Гринвича, в номенклатурные номера - от линии перемены дат.
Для определения номенклатур топокарт на заданную территорию выпускаются так называемые бланковые карты в географической проекции (прямоугольная сетка параллелей и меридианов). По краям карты проставлены номера зон и буквы широтных полос, как на приведеной выше карте, а сетка соответствует листам карт более крупных масштабов. Карты обычно охватывают определенный диапазон масштабов, например, от 1: 1 000 000 до 1: 100 000.

Рассмотрим эту проекцию на шаре. Для этого введём систему сферических координат , как это показано на рис. 5.9.

За начало координат принимается точка А , лежащая в пересечении экватора с меридианом P 1 AP , принимаемого за начальный в данной системе. Будем называть его осевым меридианом.

В новой системе координат за условный экватор принимается осевой меридиан, а за условные полюса точки Q и Q 1 лежащие на экваторе и отстоящий от начала координат A на 90° по долготе. Положение точки M в этой системе координат определяется дугой осевого меридиана и дугой большого круга .

Зависимости между координатами , и координатами , выражается формулами сферической тригонометрии.

(5.25)

где - долгота осевого меридиана.

Возьмём теперь цилиндр, касательный к шару по осевому меридиану (рис.5.10) и перенесём на него условные меридианы Q 1 AA 1 A 2 Q, Q 1 aa 1 a 2 Q, Q 1 bb 1 b 2 Q… и условные параллели - дуги малых кругов, параллельных плоскости меридиана – A 1 a 1 b 1 c 1 , A 2 a 2 b 2 c 2 так как мы это делаем в нормальной равноугольной проекции Меркатора (см.5.4).

За ось x примем осевой меридиан . За ось у - экватор Q,AQ (рис.5.10). Уравнения прямоугольных координат в этой проекции получим, если в выражениях (5.11) и (5.12) заменим на , а координаты и на и соответственно. В результате имеем

(5.26)

Так как проекция равноугольная, увеличение по осям и будет

а эллипсы искажений - окружности радиусом .

Из (5.27) следует, что искажение расстояний и площадей возрастает по мере удаления точки от осевого меридиана.

Чтобы эти искажения как-то ограничить, применение данной проекции ограниченно шестиградусными зонами. В каждой зоне имеется своя система прямоугольных координат , . При этом долгота осевого меридиана в каждой зоне определяет формула

где n =1,2, 3,...60 - номер зоны.

В пределах зоны величина достаточно мала. Поэтому вместо сферической ординаты удобней использовать её линейное значение. Для этого разложим в (5.27) в ряд, ограничиваясь двумя членами

.

Заменив его линейным значением , получим известную формулу

. (5.28)

В Украине искажения длин линий на краю шестиградусной зоны достигает

в южной части или 72 см на 1 км;

в северной части или 52 см на 1 км.

Искажение площадей соответственно

или 14 м 2 на 1 га;

или 10 м 2 на 1 га.

При составлении топографических планов в масштабе 1:5000 и крупнее такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае применяют более узкие трёхградусные зоны, где долгота осевого меридиана вычисляется по формуле

Как это видно на рис.5.10 линии сферических координат в проекции Гаусса-Крюгера - прямые линии.

При обратном переходе от сферических координат к географическим осевой меридиан и экватор изобразятся перпендикулярными прямыми (рис.5.11). Остальные меридианы - кривые линии, обращенные вогнутостью к осевому меридиану, а параллели - кривые, обращённые вогнутостью к ближайшему полюсу.

До сих пор мы рассматривали эту проекцию на шаре. При переходе к эллипсоиду вращения общий характер проекции существенно не меняется.

Прямоугольные координаты на эллипсоиде вычисляют по формулам (2.15), а искажение длин линий по формуле (2.18).

В любой проекции изображение получается тем более искаженным, чем больше картографируемая территория. Поэтому прямоугольная система координат не может быть распространена на большую территорию. Приходится решать задачу по частям.

В 1825 г. К.Ф. Гаусс впервые решил общую задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением подобия в бесконечно малых частях. Частным случаем этой задачи является отображение поверхности эллипсоида вращения на плоскости. Предложенная К.Ф. Гауссом проекция практически не применялась. В 1912 г. А. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. После этого проекция получила название проекции Гаусса–Крюгера и нашла широкое применение в топографо-геодезических работах.

Геометрическая интерпретация проекции Гаусса–Крюгера выглядит следующим образом. Поверхность земного эллипсоида условно делят меридианами на зоны, соответствующие 6° по долготе. Средний меридиан зоны называется осевым. Затем эллипсоид вписывается в поперечно расположенный цилиндр так, чтобы плоскость его экватора совместилась с осью цилиндра, а один из осевых меридианов оказался касательной к его боковой поверхности. Эту зону, а затем и последующие по определенному математическому закону проецируют на внутреннюю боковую поверхность цилиндра (рис. 4, а ). После проецирования поверхность цилиндра разворачивают в плоскость, разрезав цилиндр по образующим, касательным земных полюсов. Спроецированные аналогично последовательно одна за другой зоны соприкасаются между собой в точках, расположенных по линии экватора, как это показано на рис. 5, а .

Рис. 4. Схема образования проекции Гаусса–Крюгера:

а – геометрическое представление получения изображения зоны; б – спроецированное на плоскость изображение зоны (---- – действительные размеры зоны, - – размеры зоны в проекции)

Получается, что вся поверхность Земли разбивается на 60 зон, считая от начального – Гринвичского меридиана (0°). Через каждую зону от Северного до Южного полюса проходит прямолинейный осевой меридиан зон. Долгота осевого меридиана n -й зоны равна (6n – 3)°. Нумерация зон идет с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Территория России располагается примерно в 28 зонах: от 4 до 32. В пределах каждой зоны плоская координатная система располагается самостоятельно. Оси X и Y размещаются по осевому меридиану зоны и экватору. Начало отсчета координат в их пересечении. Поскольку территория России расположена в северном полушарии, то все значения х всегда будут положительными. Значения координаты у могут быть в каждой зоне и положительными и отрицательными. Чтобы избежать этих неудобств, начало отсчета ординат искусственно сдвигают на запад на 500 км (рис. 5). Другими словами, к значению у прибавляют 500 км. Ширина полузоны по долготе составляет всего 3°, т. е. порядка 333 км, поэтому все значения у станут положительными. Поскольку в каждой зоне координаты могут совпадать, в значении у указывается также номер зоны. Например, если координаты точки даны в виде: х = 6 650 457, у = 4 307 128, то это значит, что точка расположена от экватора на расстоянии 6 650 457 м; в значении координаты у цифра 4 означает номер зоны, а от оставшегося числа следует отнять 500 000 м, тогда получим расстояние нашей точки от осевого меридиана, а именно – 192 872 м. Такие координаты называют преобразованными. Для удобства пользования плоскими координатами каждую зону покрывают сеткой квадратов, так называемой километровой сеткой (сторона квадрата равна 1 км), которая изображается на топографических картах масштаба 1:10 000; 1:25 000; 1:50 000 (на картах масштаба 1:100 000 квадраты двухкилометровые; 1:200 000 – от 4 до 10 км).

Рис. 5. Зональная система координат в проекции Гаусса–Крюгера:

а – деление поверхности Земли на зоны (1 – осевой меридиан, 2 – экватор); б – определение плоских координат в зоне

Такая зональная система координат, принятая в качестве государственной, обеспечивает возможность построения на территории всей Земли системы плоских прямоугольных координат и позволяет получать практически без искажений довольно большие участки земной поверхности.

Для всех топографических карт в нашей стране применяется проекция Гаусса-Крюгера. Проекция равноугольная, средний меридиан изображается прямой линией без искажений, экватор изображается прямой, перпендикулярной к среднему меридиану. Все остальные меридианы криволинейны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора.

Полоса отображения в проекции представляет собой шестиградусную или трехградусную зону эллипсоида.

Координатными осями для каждой зоны являются прямолинейный средний меридиан – ось абсцисс и прямолинейный экватор – ось ординат. Счет координатных зон при разбиении земного эллипсоида ведется с запада на восток. Долгота осевого меридиана первой зоны равна 3° (т.к. он посередине зоны, а отсчет этой зоны идет от Гринвичского меридиана). Номер зоны N и долгота осевого меридиана L° связаны равенством

L° = 6° N – 3°

Номер зоны N в проекции Гаусса-Крюгера отличается от номера колонны карты масштаба 1:1 000 000 на 30.

Например, если номенклатура листа карты N-45, то это значит, что лист расположен в 15 зоне проекции Гаусса-Крюгера и его осевой меридиан имеет долготу

L° = 6°х15-3° = 90°-3° = 87°

Для построения топографических карт России прибегают к многополосному изображению земного эллипсоида, когда на плоскость переносят зоны эллипсоида, протяженностью 6° (рис.2.20).

Каждая зона строится на отдельном касательном поперечном цилиндре так, что ось касания проходит по среднему меридиану зоны PP΄, называемому осевым (рис.2.21). У каждой зоны свой осевой меридиан.

Рис. 2.20. Схема многополосного изображения земного эллипсоида

При развертывании цилиндра в плоскость осевой меридиан изображается без искажения прямой PP΄ (рис.2.22) и его принимают за ось xx . Экватор EE΄ также изображается прямой, перпендикулярной к осевому меридиану. Он соответствует оси yy . Началом координат в каждой зоне служит точка О – пересечение осевого меридиана и экватора. Таким образом, положение любой точки определяется прямоугольными координатами x и y .

Рис. 2.21. Схема развертывания поверхности эллипсоида
с помощью цилиндра

Рис. 2.22. Результат развертывания цилиндра на плоскости

Разграфка и номенклатура листов топографических карт и планов

Классификация карт и планов по масштабу осуществляется следующим образом:

Лист топографической карты любого масштаба по размерам должен быть удобным как при его создании, печатании тиража, так и при пользовании им. С учетом этого установлено, что размер одного листа не должен быть больше 50см х 50 см. Но на одном таком листе изображается незначительный участок местности, поэтому карты на значительную (обширную) территорию являются многолистными.

Определение 2.9. Система разделения карты или плана на отдельные листы называется разграфкой карты (плана).

Определение 2.10. Обозначение отдельных листов многолистных топографических карт и планов в единой системе есть номенклатура .

Система разграфки и номенклатура листов карт и планов отдельных масштабов дают возможность определять географические координаты углов рамки любого листа топографической карты всего масштабного ряда, а также по географическим координатам точки находить номенклатуру листа карты любого масштаба, на котором эта точка находится, а также находить прямоугольные координаты. Лист карты масштаба 1: 1 000 000 получается разбиением параллелями через 4°, а меридианами – через 6°.

Географические координаты углов рамки листа карты масштаба 1: 1 000 000 по его номенклатуре определяют следующим образом.

Порядковый номер в виде буквы латинского алфавита, которая принимает конкретное значение – числа натурального ряда и которой обозначен ряд, умножают на 4° и получают географическую (геодезическую) широту северной параллели. Для колонн с номерами 31-60 (к востоку от Гринвича) номер колонн уменьшают на 30. Тогда формула для расчета географической (геодезической) долготы восточного меридиана (правого угла листа) будет выглядеть

6°=М°

Соответствие масштабов и номенклатуры листов приведено в табл.1.

Таблица 1. Масштабы и номенклатура листов карты

Последние две строки для планов местности с площадью S > 20 км 2 .

Пример . Пусть N = 14 – порядковый номер ряда, тогда

СШ = 14 х 4° = 56°; ЮШ = 56° – 4° = 52° (учли, что отсчет угла идет от плоскости экватора)

ВД = 6° = 42°

ЗД = 42° – 6° = 36°

Переход от листа карты масштаба 1: 1 000 000 к листам карт других масштабов осуществляется по простейшему алгоритму, приведенному на рис. 2.23.

Проекция Гаусса-Крюгера

Как следует из предыдущих параграфов, здесь имеется в виду, что проектирование поверхности Земли производится на цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с плоскостью экватора. В проекциях Меркатора и Ламберта ось вспомогательного цилиндра совпадает с осью вращения Земли. Кроме того, как следует из названия параграфа, проекция равноугольная, а это значит, что направления, находящиеся в горизонтальной плоскости, на изображении и на земной поверхности сохраняются, а также сохраняются соответственно и горизонтальные углы между направлениями. Но, как примерно сказал М.В.Ломоносов, если где-то сколько-то прибавится, то где-то столько же и убавится. В этой проекции сохраняются углы, но искажается всё остальное: масштабы длин и площадей, формы объектов. Единственным неискаженным изображением поверхности Земли может быть только глобус, т.е. объемное изображение. Но представьте себе, чтобы получить изображение Земли в масштабе хотя бы 1:1000000, надо будет изготовить глобус диаметром более 12,5 метров. В аудиторию не занесешь. Зато, правда, и не вынесешь. А если масштаб крупнее? Вот и приходится идти на уступки: одно изображать без искажений, а на другое при этом не обращать пристального внимания.

Поперечно-цилиндрическая проекция для изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости была разработана немецким геодезистом Зольднером и французским геодезистом Кассини . Впоследствии К.Гаусс применил к этой проекции принцип равноугольности, причём масштабы изображения в новой проекции в каждой её точке в любом направлении были одинаковыми. Информация о новой проекции была опубликована К.Гауссом в 1825 году, а спустя почти 90 лет, в 1912 году, ученый Л.И.Крюгер (1857 – 1923) опубликовал рабочие формулы этой проекции. Сейчас указанная проекция названа именами Гаусса и Крюгера.

Предположим, что фигурой Земли является шар радиусом R. Построим вокруг Земли цилиндрическую поверхность, касающуюся поверхности шара по меридиану (рис. 2.14). Ось цилиндрической поверхности в этом случае должна совпасть с плоскостью экватора. В проекции Гаусса на цилиндр проектируется только часть поверхности шара (или эллипсоида), ограниченная по долготе меридианами по 3 о в стороны от меридиана, касательного к цилиндру, так называемая 6 о (шестиградусная) зона . Всего таких зон для всей Земли получается 60.

Рис.2.14. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Меридиан зоны, касательный к цилиндрической поверхности, называют центральным или осевым меридианом зоны . Счёт зон ведут на восток от Гринвичского меридиана и обозначают их арабскими цифрами (1, 2, ..., 60). Осевой меридиан 1-й зоны имеет восточную долготу 3 о. Долготу осевого меридиана любой зоны с номером n в восточном полушарии можно определить по формуле

, (2.7)

а в западном полушарии, для зон, номера которых больше 30, – по формуле

Но не во всех случаях может применяться 6 о -ная проекция зоны. Очевидно, что линией нулевых искажений в этой проекции является в каждой зоне её осевой меридиан. Для всех остальных точек земной поверхности (имеется в виду её геометрической шаровидной формы) существует «зазор» с вспомогательной цилиндрической поверхностью. А это значит, что искажения постепенно увеличиваются при перемещении от осевого меридиана на запад или восток и достигают максимального своего значения на краях зон. Как видно на рис. 2.14, точка А , находящаяся на крайнем (восточном) меридиане 1-й зоны на плоскости (на изображении) удалится от самой себя в другое место и окажется на крайнем (западном) меридиане 2-й зоны.

В маркшейдерии такие искажения 6 о -ных зон являются слишком большими, поэтому маркшейдеры используют для составления картографических материалов тоже проекцию Гаусса-Крюгера, но с применением 3 о -ных (трехградусних) зон. Искажения на изображениях, построенных в 3 о -ных зонах, в четыре раза меньше, чем искажения, получающиеся в 6 о -ных зонах. Осевой меридиан 1-ой 3 о -ной зоны совпадает с осевым меридианом 1-ой 6 о -ной зоны. Осевой меридиан 2-й 3 о -ной зоны совпадает с крайними меридианами 1-й и 2-й 6 о -ных зон и т.д. Всего получается 120 3 о -ных зон.

Основные свойства проекции Гаусса-Крюгера следующие:

Осевой меридиан зоны изображается без искажений и представляет собой на плоскости прямую линию. Все другие меридианы этой зоны изображаются сложными кривыми;

Экватор в проекции представляет собой прямую линию, перпендикулярную проекции осевого меридиана. Все другие параллели данной зоны являются сложными кривыми;

Направления на местности в проекции передаются практически без искажений;

Сохраняется масштаб изображения (частный масштаб) малых участков поверхности Земли.

Обратите внимание на следующее. Выше мы говорили о том, что на цилиндрическую поверхность выполняют проектирование с поверхности шара. Но это не совсем так. Вернее, совсем даже не так. Геометрическая вспомогательная поверхность Земли, поверхность относимости, представляет, как Вы уже знаете, не поверхность шара, а поверхность референц-эллипсоида. Поэтому и вспомогательная цилиндрическая поверхность, на которую производится проектирование земной поверхности, должна соответствовать этому, т.е. сопрягаться с меридианом, представляющим собой не окружность, а эллипс. Таким образом, для проектирования обязательно должен использоваться эллиптический цилиндр.

§ 11. Разграфка и номенклатура топографических карт и планов

Понятие номенклатуры в картогафии абсолютно отличается от её других значений в нашей повседневной негеодезической жизни (лат. – nomenklatura ). Это и совокупность или перечень названий, терминов, употребляющихся в какой-либо отрасли науки, техники, искусства и т.п., это и круг должностных лиц, назначенных вышестоящей инстанцией. Смысловое понятие номенклатуры в геодезии исходит из того, что принимаемые положения должны обеспечивать однозначное обозначение листов топографических либо каких других карт различных масштабов. Нельзя сказать, что принятая картографами в работе номенклатура является удобной. Не будет удобной и другая какая-нибудь система обозначений, поскольку так много последовательных делений от первичного листа карты, что остается только надеяться на свою память либо пользоваться справочником, что во многом в этих случаях надежнее.

Рис. 2.15. Разграфка и номенклатура топографических карт масштаба 1:1000000.

Номенклатура – это система обозначения листов карт разных масштабов.

Система деления карт на отдельные листы с помощью линий картографической сетки (линий меридианов и параллелей) или прямоугольной координатной сетки (координатных линий) называется разграфкой .

В основу деления карт на листы в нашей стране принята международная разграфка карт масштаба 1:1000000 (рис. 2.15). Разбивка на ряды параллелями производится от экватора через каждые 4 о широты. Ряды обозначают буквами латинского алфавита: A, В, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, V, W. Колонны в своих границах совпадают с 6 о зонами проекции Гаусса-Крюгера, но нумерация их ведется от меридиана ±180 о на восток. Таким образом, номер колонны отличается от номера зоны на 30 единиц в ту или другую стороны. Колонны обозначаются (по номерам) арабскими цифрами.

Предположим, что номер колонны 47. Тогда номер соответствующей зоны будет 47 – 30 = 17. Если номер колонны меньше 30, то для определения номера зоны следует к номеру колонны прибавить 30.

Номенклатура первого листа топографической карты масштаба 1: 1000000 составляется из буквы ряда и номера колонны. Например, Н – 47.

Других листов карты масштаба 1:1000000 с таким обозначением нет. Но Вы можете задать вполне разумный вопрос: «Для обозначения рядов картографы использовали все буквы латинского алфавита для северного полушария. А как же быть тогда с листами карт на южное полушарие? Придется повториться?» Зачем повторяться. Номенклатура – это система обозначений. Так и давайте чуть-чуть изменим эту систему для южного полушария. Например, в южном полушарии подобный лист обозначить как 47 – Н. И никаких проблем и вопросов. А можно придумать и другое, например, брать в скобки (Н) для южного полушария. И снова – никаких проблем. И снова с Вашей стороны разумный вопрос: «Ну а как же на самом деле обозначают?» Проще, чем мы с Вами подумали: после номенклатуры в скобках указывают (Ю.П.). Наши с Вами способы все-таки поинтереснее.

Разграфку более крупных масштабов из листа 1:1000000 можно проследить по приведённой ниже схеме, табл. 2.2 и рисункам 2.16 – 2.21, относящимся к приведённому ниже примеру.