Wzory na dodawanie sinusów i cosinusów – przykłady. Wzory na dodawanie: dowód, przykłady. Wzory na dodawanie stycznych i kotangentów

Nie będę Cię przekonywał, żebyś nie pisał ściągawek. Pisać! Zawiera ściągawki z trygonometrii. Później mam zamiar wyjaśnić, dlaczego ściągawki są potrzebne i dlaczego ściągawki są przydatne. A oto informacja, jak nie uczyć się, ale zapamiętać niektóre wzory trygonometryczne. A więc - trygonometria bez ściągawki! Do zapamiętywania używamy skojarzeń.

1. Wzory dodawania:

Cosinusy zawsze „występują parami”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. I jeszcze jedno: cosinusy są „nieadekwatne”. „Wszystko im nie pasuje”, więc zmieniają znaki: „-” na „+” i odwrotnie.

Zatoki - „mieszaj”: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Wzory na sumę i różnicę:

cosinusy zawsze „występują parami”. Dodając dwa cosinusy - „koloboks”, otrzymujemy parę cosinusów - „koloboks”. A odejmując, na pewno nie otrzymamy żadnych koloboków. Dostajemy kilka sinusów. Również z minusem przed nami.

Zatoki - „mieszaj” :

3. Wzory na przeliczenie iloczynu na sumę i różnicę.

Kiedy otrzymamy parę cosinus? Kiedy dodamy cosinusy. Dlatego

Kiedy otrzymamy kilka sinusów? Przy odejmowaniu cosinusów. Stąd:

„Mieszanie” uzyskuje się zarówno podczas dodawania, jak i odejmowania sinusów. Co jest zabawniejsze: dodawanie czy odejmowanie? Zgadza się, złóż. A dla wzoru biorą dodatek:

W pierwszym i trzecim wzorze suma jest podana w nawiasach. Zmiana miejsca wyrazów nie powoduje zmiany sumy. Kolejność jest istotna tylko w przypadku drugiej formuły. Ale aby się nie pomylić, dla ułatwienia zapamiętania, we wszystkich trzech formułach w pierwszych nawiasach bierzemy różnicę

i po drugie – ilość

Ściągawki w Twojej kieszeni zapewnią Ci spokój ducha: jeśli zapomnisz przepisu, możesz go skopiować. I dają pewność: jeśli nie skorzystasz ze ściągawki, z łatwością zapamiętasz formuły.

Kontynuujemy rozmowę na temat najczęściej używanych wzorów w trygonometrii. Najważniejszymi z nich są formuły dodawania.

Definicja 1

Wzory na dodawanie umożliwiają wyrażenie funkcji różnicy lub sumy dwóch kątów za pomocą funkcji trygonometrycznych tych kątów.

Na początek podamy pełną listę wzorów dodawania, następnie udowodnimy je i przeanalizujemy kilka ilustrujących przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Podstawowe wzory na dodawanie w trygonometrii

Istnieje osiem podstawowych wzorów: odpowiednio sinus sumy i sinus różnicy dwóch kątów, cosinus sumy i różnicy, styczne i cotangensy sumy i różnicy. Poniżej znajdują się ich standardowe formuły i obliczenia.

1. Sinus sumy dwóch kątów można otrzymać w następujący sposób:

Obliczamy iloczyn sinusa pierwszego kąta i cosinusa drugiego;

Pomnóż cosinus pierwszego kąta przez sinus pierwszego;

Dodaj otrzymane wartości.

Graficzny zapis wzoru wygląda następująco: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Sinus różnicy oblicza się prawie w ten sam sposób, tylko powstałych produktów nie należy dodawać, lecz odejmować od siebie. W ten sposób obliczamy iloczyn sinusa pierwszego kąta przez cosinus drugiego i cosinus pierwszego kąta przez sinus drugiego i znajdujemy ich różnicę. Wzór zapisuje się w następujący sposób: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Cosinus sumy. W tym celu znajdujemy iloczyny cosinusa pierwszego kąta przez cosinus drugiego i sinus pierwszego kąta przez sinus drugiego kąta i znajdujemy ich różnicę: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Cosinus różnicy: oblicz iloczyny sinusów i cosinusów tych kątów jak poprzednio i dodaj je. Wzór: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens sumy. Wzór ten wyraża się jako ułamek, którego licznik jest sumą stycznych wymaganych kątów, a mianownik jest jednostką, od której odejmuje się iloczyn stycznych pożądanych kątów. Wszystko jest jasne po zapisie graficznym: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangens różnicy. Obliczamy wartości różnicy i iloczynu stycznych tych kątów i postępujemy z nimi w podobny sposób. W mianowniku dodajemy do jedności, a nie odwrotnie: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Cotangens sumy. Aby obliczyć za pomocą tego wzoru, będziemy potrzebować iloczynu i sumy cotangensów tych kątów, co postępujemy następująco: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangens różnicy . Wzór jest podobny do poprzedniego, ale licznik i mianownik to minus, a nie plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Prawdopodobnie zauważyłeś, że te formuły są podobne w parach. Używając znaków ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus) możemy je pogrupować dla ułatwienia zapisu:

grzech (α ± β) = grzech α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · grzech β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t sol α · t g β do t g (α ± β) = - 1 ± do t g α · do t sol β do t sol α ± c t g β

W związku z tym mamy jeden wzór zapisu na sumę i różnicę każdej wartości, tylko w jednym przypadku zwracamy uwagę na znak górny, w drugim – na dolny.

Definicja 2

Możemy przyjąć dowolne kąty α i β i dla nich będą działać wzory na dodawanie cosinusa i sinusa. Jeśli uda nam się poprawnie wyznaczyć wartości stycznych i cotangensów tych kątów, wówczas będą dla nich obowiązywać również wzory na dodawanie stycznej i cotangensu.

Podobnie jak większość pojęć w algebrze, wzory na dodawanie można udowodnić. Pierwszą formułą, którą udowodnimy, jest wzór na różnicę cosinus. Pozostałą część materiału dowodowego można z niego łatwo wywnioskować.

Wyjaśnijmy podstawowe pojęcia. Będziemy potrzebować koła jednostkowego. Będzie to działać, jeśli weźmiemy pewien punkt A i obrócimy kąty α i β wokół środka (punkt O). Wtedy kąt pomiędzy wektorami O A 1 → i O A → 2 będzie równy (α - β) + 2 π · z lub 2 π - (α - β) + 2 π · z (z jest dowolną liczbą całkowitą). Powstałe wektory tworzą kąt równy α - β lub 2 π - (α - β) lub mogą różnić się od tych wartości całkowitą liczbą pełnych obrotów. Spójrz na zdjęcie:

Skorzystaliśmy ze wzorów redukcyjnych i otrzymaliśmy następujące wyniki:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Wynik: cosinus kąta między wektorami O A 1 → i O A 2 → jest równy cosinusowi kąta α - β, zatem cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Przypomnijmy definicje sinusa i cosinusa: sinus jest funkcją kąta, równą stosunkowi ramienia przeciwnego kąta do przeciwprostokątnej, cosinus jest sinusem kąta dopełniającego. Dlatego punkty 1 I 2 mają współrzędne (cos α, sin α) i (cos β, sin β).

Otrzymujemy co następuje:

O ZA 1 → = (cos α, sin α) i O A 2 → = (cos β, sin β)

Jeśli nie jest to jasne, spójrz na współrzędne punktów znajdujących się na początku i na końcu wektorów.

Długości wektorów są równe 1, ponieważ Mamy okrąg jednostkowy.

Przeanalizujmy teraz iloczyn skalarny wektorów O A 1 → i O A 2 → . We współrzędnych wygląda to tak:

(O ZA 1 → , O ZA 2) → = cos α · cos β + sin α · grzech β

Z tego możemy wyprowadzić równość:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

W ten sposób udowodniono wzór na różnicę cosinus.

Teraz udowodnimy następujący wzór - cosinus sumy. Jest to łatwiejsze, ponieważ możemy skorzystać z poprzednich obliczeń. Weźmy reprezentację α + β = α - (- β) . Mamy:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α grzech (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

To jest dowód wzoru na sumę cosinus. Ostatnia linia wykorzystuje właściwość sinusa i cosinusa przeciwnych kątów.

Wzór na sinus sumy można wyprowadzić ze wzoru na cosinus różnicy. Weźmy dla tego wzór na redukcję:

postaci sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Więc
grzech (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A oto dowód wzoru na różnicę sinus:

grzech (α - β) = grzech (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α grzech (- β) = = grzech α cos β - cos α sin β
Zwróć uwagę na użycie właściwości sinus i cosinus przeciwległych kątów w ostatnim obliczeniu.

Następnie potrzebujemy dowodów wzorów na dodawanie stycznej i cotangensu. Przypomnijmy podstawowe definicje (styczna to stosunek sinusa do cosinusa, a cotangens odwrotnie) i skorzystajmy z wyprowadzonych już wcześniej wzorów. Zrobiliśmy to:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Mamy ułamek złożony. Następnie musimy podzielić jego licznik i mianownik przez cos α · cos β, biorąc pod uwagę, że cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0, otrzymujemy:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Teraz redukujemy ułamki i otrzymujemy następujący wzór: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s in n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Mamy t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. To jest dowód wzoru na dodawanie styczne.

Następnym wzorem, który udowodnimy, jest tangens wzoru różnicowego. Wszystko wyraźnie widać w obliczeniach:

t sol (α - β) = t sol (α + (- β)) = t sol α + t g (- β) 1 - t sol α t g (- β) = t sol α - t g β 1 + t sol α t sol β

Wzory na cotangens dowodzi się w podobny sposób:
do t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - grzech α · grzech β grzech α · grzech β grzech α · cos β + cos α · grzech β sin α · grzech β = cos α · cos β grzech α · grzech β - 1 grzech α · cos β sin α · grzech β + cos α · grzech β grzech α · grzech β = = - 1 + do t sol α · do t sol β do t sol α + do t sol β
Dalej:
do t sol (α - β) = do t sol  (α + (- β)) = - 1 + do t sol α do t g (- β) do t sol α + do t g (- β) = - 1 - do t sol α do t g β do t g α - do t sol β

Wzory dodawania służą do wyrażania poprzez sinusy i cosinusy kątów a i b wartości funkcji cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Wzory na dodawanie sinusów i cosinusów

Twierdzenie: Dla dowolnych a i b prawdziwa jest następująca równość: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Udowodnijmy to twierdzenie. Rozważ następujący rysunek:

Na nim punkty Ma, M-b, M(a+b) otrzymuje się obracając punkt Mo odpowiednio o kąty a, -b i a+b. Z definicji sinusa i cosinusa współrzędne tych punktów będą następujące: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); grzech(a+b)). KątMoOM(a+b) = kątM-bOMa, zatem trójkąty MoOM(a+b) i M-bOMa są równe i są równoramienne. Oznacza to, że podstawy MoM(a-b) i M-bMa są równe. Zatem (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - grzech(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) i cos(-a) = cos(a). Przekształćmy naszą równość, biorąc pod uwagę te wzory oraz kwadrat sumy i różnicy, a następnie:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Teraz stosujemy podstawową tożsamość trygonometryczną:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Podajmy podobne i zmniejszmy je o -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - grzech(a)*grzech(b). co było do okazania

Obowiązują także następujące formuły:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + grzech(a)*grzech(b);
• grzech(a+b) = grzech(a)*cos(b) + cos(a)*grzech(b);
• grzech(a-b) = grzech(a)*cos(b) - cos(a)*grzech(b).

Wzory te można otrzymać z wzoru udowodnionego powyżej, stosując wzory redukcyjne i zastępując b przez -b. Istnieją również wzory na dodawanie stycznych i kotangentów, ale nie będą one ważne dla wszystkich argumentów.

Wzory na dodawanie stycznych i kotangentów

Dla dowolnych kątów a,b z wyjątkiem a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a+b =pi/2 +pi*m, dla dowolnych liczb całkowitych k,n,m: być prawdziwą formułą:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Dla dowolnych kątów a,b z wyjątkiem a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a-b =pi/2 +pi*m, dla dowolnych liczb całkowitych k,n,m będzie wyglądać następujący wzór ważny:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Dla dowolnych kątów a,b z wyjątkiem a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m oraz dla dowolnych liczb całkowitych k,n,m obowiązuje następujący wzór:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).