Тойрог: олон өнцөгтөөр хүрээлэгдсэн. Хязгаарлагдмал тойрог. Харааны гарын авлага (2020) Хязгаарлагдсан тойргийн радиус нь перпендикуляр байна

Тойргийн диаметр нь тойргийн төвийг дайран өнгөрөх, бие биенээсээ хамгийн алслагдсан хоёр цэгийг холбосон шулуун шугамын хэсэг юм. Диаметр гэдэг нэр нь Грек хэлнээс гаралтай бөгөөд шууд утгаараа хөндлөн гэсэн утгатай. Диаметрийг латин цагаан толгойн D үсэг эсвэл О тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Тойргийн диаметр

Тойргийн диаметрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд та томъёонд хандах хэрэгтэй. Тойргийн диаметрийг тооцоолох хоёр үндсэн томъёо байдаг. Эхнийх нь D = 2R. Энд диаметр нь радиусаас хоёр дахин их байх ба радиус нь төвөөс тойргийн аль ч цэг хүртэлх зай (R) юм. Нэг жишээг авч үзье: хэрэв радиус нь даалгаварт мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь 10 см-тэй тэнцүү бол та диаметрийг хялбархан олох боломжтой. Энэ радиусын утгыг бид томъёонд D = 2 * 10 = 20 см-ээр орлуулна.

Хоёрдахь томьёо нь диаметрийг тойргоор нь олох боломжтой болгодог бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна: D = L/P, энд L нь тойргийн утга, P нь Pi тоо бөгөөд ойролцоогоор 3.14-тэй тэнцүү байна. Энэ томъёог практикт хэрэглэхэд маш тохиромжтой. Хэрэв та нүх, савны таг эсвэл ямар нэгэн нүхний диаметрийг мэдэх шаардлагатай бол тэдгээрийн тойргийг хэмжиж, 3.14-т хуваахад хангалттай. Жишээлбэл, тойрог нь 600 см, иймээс D = 600 / 3.14 = 191.08 см.

Тойргийн диаметр

Хязгаарлагдсан тойргийн голчийг гурвалжинд хүрээлэгдсэн эсвэл бичээстэй бол мөн олж болно. Үүнийг хийхийн тулд та эхлээд бичээстэй тойргийн радиусыг дараах томъёогоор олох хэрэгтэй: R = S/p, S нь гурвалжны талбайг, p нь түүний хагас периметр, p нь (a) -тай тэнцүү байна. + b + c)/2. Радиусыг мэдсэний дараа та эхний томъёог ашиглах хэрэгтэй. Эсвэл бүх утгыг D = 2S/p томъёонд нэн даруй орлуулна уу.

Хэрэв та хүрээлэгдсэн тойргийн диаметрийг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байгаа бол гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг олохын тулд томьёог ашиглана уу. R = (a * b * c)/4 * S, S томьёо нь гурвалжны талбайг илэрхийлнэ. Дараа нь ижил аргаар радиусын утгыг D = 2R томъёонд орлуулна.

Энэ нийтлэлд математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгөхөд шаардагдах тойргийн талаархи хамгийн бага багц мэдээллийг багтаасан болно.

Тойрог нь тухайн цэгээс ижил зайд байрлах цэгүүдийн багц бөгөөд үүнийг тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Тойрог дээр байрлах аливаа цэгийн хувьд тэгш байдал хангагдана (Хэсэгтийн урт нь тойргийн радиустай тэнцүү).

Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шугамын сегментийг нэрлэдэг хөвч.

Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг нэрлэдэг диаметр тойрог() .

Тойрог:

Тойргийн талбай:

Тойргийн нуман:

Хоёр цэгийн хооронд хүрээлэгдсэн тойргийн хэсгийг нэрлэдэг нуман тойрог. Тойрог дээрх хоёр цэг нь хоёр нумыг тодорхойлдог. Хөвч нь хоёр нумыг заадаг: ба . Тэнцүү хөвч нь тэнцүү нумуудыг агуулна.

Хоёр радиус хоорондын өнцгийг гэнэ төв өнцөг :

Нумын уртыг олохын тулд бид дараахь харьцааг хийнэ.

a) өнцгийг градусаар өгсөн:

б) өнцгийг радианаар өгсөн:

Хөвчний перпендикуляр диаметр , энэ хөвч болон түүнд хамаарах нумуудыг хоёр хуваана:

Хэрэв хөвч Тэгээд тойрог нь нэг цэг дээр огтлолцдог , тэгвэл тэдгээрийг цэгээр хуваасан хөвчний сегментүүдийн бүтээгдэхүүнүүд хоорондоо тэнцүү байна.

Тойрогтой шүргэгч.

Тойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг нэрлэдэг шүргэгчтойрог руу. Тойрогтой нийтлэг хоёр цэгтэй шулуун шугамыг нэрлэдэг секант

Тойрогтой шүргэгч нь шүргэлтийн цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна.

Өгөгдсөн цэгээс тойрог руу хоёр шүргэгч татсан бол шүргэгч сегментүүд хоорондоо тэнцүү байнамөн тойргийн төв нь энэ цэгийн оройтой өнцгийн биссектрист байрладаг.

Хэрэв өгөгдсөн цэгээс тойрог руу шүргэгч ба секант зурсан бол шүргэгч сегментийн уртын квадрат нь бүхэл сегмент ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна :

Үр дагавар: нэг секантын бүх сегмент ба түүний гадаад хэсгийн үржвэр нь нөгөө секантын бүх сегмент ба түүний гадаад хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна:

Тойрог дахь өнцөг.

Төв өнцгийн хэмжүүр нь түүний тулгуурласан нумын хэмжүүртэй тэнцүү байна.

Орой нь тойрог дээр байрладаг, талууд нь хөвч агуулсан өнцгийг гэнэ бичээстэй өнцөг . Бичсэн өнцгийг түүний тулгуурласан нумын хагасаар хэмждэг.

∠∠

Диаметрт багтсан бичээстэй өнцөг нь зөв байна:

∠∠∠

Нэг нумаар татсан бичээстэй өнцөг нь тэнцүү байна :

Нэг хөвчөөр тусгаарлагдсан бичээстэй өнцөг нь тэнцүү буюу нийлбэр нь тэнцүү байна

∠∠

Өгөгдсөн суурь ба тэгш оройн өнцөг бүхий гурвалжны оройнууд нэг тойрог дээр байрладаг.

Хоёр хөвчний хоорондох өнцөг (тойрог дотор оройтой өнцөг) нь өгөгдсөн өнцгийн дотор болон босоо өнцгийн дотор байгаа тойргийн нумын өнцгийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Хоёр секантын хоорондох өнцөг (тойрогны гадна оройтой өнцөг) нь өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумын өнцгийн утгын хагасын зөрүүтэй тэнцүү байна.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Бичсэн тойрог.

Тойрог гэж нэрлэдэг олон өнцөгт бичээстэй , хэрэв энэ нь түүний хажуу тал руу хүрвэл. Бичсэн тойргийн төв олон өнцөгтийн өнцгүүдийн биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байрладаг.

Олон өнцөгт бүр тойрогт багтах боломжгүй.

Тойрог дүрсэлсэн олон өнцөгтийн талбай томъёог ашиглан олж болно

энд олон өнцөгтийн хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиус байна.

Эндээс бичээстэй тойргийн радиус тэнцүү байна

Хэрэв тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй бол эсрэг талын уртын нийлбэр тэнцүү байна. . Үүний эсрэгээр: хэрэв гүдгэр дөрвөлжин дээр эсрэг талын уртын нийлбэр тэнцүү бол дөрвөлжин дотор тойрог бичиж болно.

Та ямар ч гурвалжинд тойрог бичиж болно, зөвхөн нэг. Тойргийн төв нь гурвалжны дотоод өнцгүүдийн биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байрладаг.

Бичсэн тойргийн радиус тэнцүү . Энд

Хязгаарлагдмал тойрог.

Тойрог гэж нэрлэдэг олон өнцөгтийн тухай тайлбарласан , хэрэв энэ нь олон өнцөгтийн бүх оройг дайран өнгөрвөл. Тойргийн төв нь олон өнцөгтийн талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Радиусыг өгөгдсөн олон өнцөгтийн дурын гурван оройгоор тодорхойлсон гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусаар тооцно.

Зөвхөн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь тэнцүү бол дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно. .

Аливаа гурвалжны эргэн тойронд та тойрог, зөвхөн нэгийг дүрсэлж болно. Түүний төв нь гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байрладаг.

Эргэн тойрон радиустомъёог ашиглан тооцоолно:

Гурвалжны талуудын урт нь хаана байх ба түүний талбай.

Птолемейгийн теорем

Цикл дөрвөн өнцөгтийн хувьд диагональуудын үржвэр нь түүний эсрэг талуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эхлээд тойрог ба тойрог хоёрын ялгааг ойлгоцгооё. Энэ ялгааг харахын тулд хоёр тоо юу болохыг анхаарч үзэхэд хангалттай. Эдгээр нь нэг төв цэгээс ижил зайд байрладаг хавтгай дээрх хязгааргүй тооны цэгүүд юм. Гэхдээ хэрэв тойрог нь дотоод орон зайгаас бүрддэг бол энэ нь тойрогт хамаарахгүй. Эндээс харахад тойрог нь түүнийг хязгаарлаж буй тойрог (тойрог(r)), тойрог дотор байгаа тоо томшгүй олон тооны цэгүүд юм.

Тойрог дээр байрлах дурын L цэгийн хувьд OL=R тэгшитгэл үйлчилнэ. (OL сегментийн урт нь тойргийн радиустай тэнцүү).

Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент нь түүнийх юм хөвч.

Тойргийн төвөөр шууд дамждаг хөвч нь диаметрэнэ тойрог (D). Диаметрийг D=2R томъёогоор тооцоолж болно

Тойрогтомъёогоор тооцоолно: C=2\pi R

Тойргийн талбай: S=\pi R^(2)

Тойргийн нумтүүний хоёр цэгийн хооронд байрлах хэсгийг гэнэ. Эдгээр хоёр цэг нь тойргийн хоёр нумыг тодорхойлдог. CD хөвч нь CMD ба CLD гэсэн хоёр нумыг агуулдаг. Ижил хөвчүүд нь тэнцүү нумуудыг агуулна.

Төв өнцөгХоёр радиусын хооронд байрлах өнцгийг гэнэ.

Нуман урттомъёог ашиглан олж болно:

1. Зэрэглэлийн хэмжүүр ашиглах: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Радиан хэмжигдэхүүнийг ашиглан: CD = \alpha R

Хөвчний перпендикуляр голч нь хөвч болон түүгээр татагдсан нумуудыг хагасаар хуваадаг.

Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд N цэг дээр огтлолцдог бол N цэгээр тусгаарлагдсан хөвчний сегментүүдийн үржвэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Тойрогтой шүргэгч

Тойрогтой шүргэгчТойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг дуудах нь заншилтай байдаг.

Хэрэв шугам нь хоёр нийтлэг цэгтэй бол түүнийг дуудна секант.

Хэрэв та радиусыг шүргэгч цэг рүү зурвал энэ нь тойрогтой шүргэгчтэй перпендикуляр болно.

Энэ цэгээс тойрог руугаа хоёр шүргэгч зуръя. Шүргэгч хэрчмүүд нь хоорондоо тэнцүү байх бөгөөд тойргийн төв нь энэ цэгийн оройтой өнцгийн биссектрист дээр байрлана.

AC = CB

Одоо цэгээсээ тойрог руу шүргэгч ба секант зуръя. Шүргэдэг сегментийн уртын квадрат нь бүхэл сегмент ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байх болно.

AC^(2) = CD \cdot BC

Бид дүгнэж болно: эхний секантын бүх сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүн нь хоёр дахь секантын бүхэл хэсэг ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Тойрог дахь өнцөг

Төвийн өнцөг ба түүний тулгуурласан нумын градусын хэмжүүрүүд тэнцүү байна.

\angle COD = \аяга CD = \alpha ^(\circ)

Бичсэн өнцөгорой нь тойрог дээр байгаа, талууд нь хөвч агуулсан өнцөг юм.

Энэ нумын хагастай тэнцэх тул та нумын хэмжээг мэдэж байж тооцоолж болно.

\angle AOB = 2 \angle АХБ

Диаметр, бичээстэй өнцөг, зөв ​​өнцгийг үндэслэнэ.

\ өнцөг CBD = \ өнцөг CED = \ өнцөг CAD = 90 ^ (\ тойргоор)

Ижил нумыг хамарсан бичээстэй өнцөг нь ижил байна.

Нэг хөвч дээр тулгуурласан бичээстэй өнцгүүд нь ижил буюу нийлбэр нь 180^ (\circ)-тэй тэнцүү байна.

\өнцөг АХБ + \өнцөг AKB = 180^ (\ тойрог)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Нэг тойрог дээр ижил өнцөгтэй, өгөгдсөн суурьтай гурвалжны оройнууд байрладаг.

Тойрог дотор оройтой, хоёр хөвчний хооронд байрлах өнцөг нь өгөгдсөн болон босоо өнцгүүдэд агуулагдах тойргийн нумын өнцгийн нийлбэрийн хагастай ижил байна.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC + \аяга AlB \баруун)

Тойргийн гадна оройтой, хоёр секантын хооронд байрлах өнцөг нь өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумын өнцгийн утгын зөрүүний талтай тэнцүү байна.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC - \аяга AlB \баруун)

Бичсэн тойрог

Бичсэн тойрогнь олон өнцөгтийн талуудтай шүргэгч тойрог юм.

Олон өнцөгтийн булангийн биссектрис огтлолцох цэг дээр түүний төв байрлана.

Олон өнцөгт бүрт тойрог бичээгүй байж болно.

Бичсэн тойрог бүхий олон өнцөгтийн талбайг дараах томъёогоор олно.

S = pr,

p нь олон өнцөгтийн хагас периметр,

r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.

Үүнээс үзэхэд бичээстэй тойргийн радиус нь дараахтай тэнцүү байна.

r = \frac(S)(p)

Хэрэв тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байвал эсрэг талын уртын нийлбэр ижил байх болно. Мөн эсрэгээр: эсрэг талын уртын нийлбэр нь ижил байвал тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй тохирно.

AB + DC = AD + BC

Аль ч гурвалжинд тойрог бичих боломжтой. Ганцхан ганц. Зургийн дотоод өнцгийн биссектрисс огтлолцох цэг дээр энэ бичээстэй тойргийн төв нь хэвтэнэ.

Бичсэн тойргийн радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

r = \frac(S)(p) ,

Энд p = \frac(a + b + c)(2)

Тойрог

Хэрэв тойрог нь олон өнцөгтийн орой бүрийг дайран өнгөрвөл ийм тойргийг ихэвчлэн нэрлэдэг олон өнцөгтийн тухай тайлбарласан.

Энэ зургийн талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэг дээр тойргийн төв байх болно.

Радиусыг олон өнцөгтийн дурын 3 оройгоор тодорхойлсон гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусаар тооцож олно.

Дараах нөхцөл бий: зөвхөн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180^( \circ) -тэй тэнцүү байвал дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно.

\ өнцөг A + \ өнцөг C = \ өнцөг B + \ өнцөг D = 180 ^ (\ тойрог)

Аливаа гурвалжны эргэн тойронд та тойрог, зөвхөн нэгийг дүрсэлж болно. Ийм тойргийн төв нь гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэг дээр байрлана.

Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c нь гурвалжны талуудын урт,

S нь гурвалжны талбай юм.

Птолемейгийн теорем

Эцэст нь Птолемейгийн теоремыг авч үзье.

Птолемейгийн теорем нь диагональуудын үржвэр нь мөчлөгт дөрвөлжингийн эсрэг талуудын үржвэрийн нийлбэртэй ижил байна гэж заасан.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.