Огноо: 2014.11.20

Дериватив гэж юу вэ?

Деривативын хүснэгт.

Дериватив бол дээд математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Энэ хичээлээр бид энэ ойлголтыг танилцуулах болно. Математикийн хатуу томъёолол, нотолгоогүйгээр бие биетэйгээ танилцацгаая.

Энэхүү танил нь танд дараахь зүйлийг хийх боломжийг олгоно.

Дериватив бүхий энгийн ажлуудын мөн чанарыг ойлгох;

Эдгээр хамгийн энгийн ажлуудыг амжилттай шийдвэрлэх;

Деривативын талаар илүү ноцтой хичээлд бэлтгэ.

Нэгдүгээрт - тааламжтай гэнэтийн бэлэг.)

Деривативын хатуу тодорхойлолт нь хязгаарын онол дээр үндэслэсэн бөгөөд энэ нь нэлээд төвөгтэй юм. Энэ бухимдаж байна. Гэхдээ деривативын практик хэрэглээ нь дүрмээр бол ийм өргөн, гүн гүнзгий мэдлэг шаарддаггүй!

Сургууль, их сургуулийн ихэнх ажлыг амжилттай гүйцэтгэхийн тулд мэдэхэд хангалттай хэдхэн нэр томъёо- даалгаврыг ойлгох, мөн хэдхэн дүрэм- үүнийг шийдвэрлэх. Тэгээд л болоо. Энэ нь намайг аз жаргалтай болгодог.

Танилцаж эхэлцгээе?)

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Анхан шатны математикт олон янзын математик үйлдлүүд байдаг. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, нэмэгдүүлэх, логарифм гэх мэт. Хэрэв та эдгээр үйлдлүүдэд нэг үйлдлийг нэмбэл анхан шатны математик илүү өндөр болно. Энэ шинэ үйл ажиллагаа гэж нэрлэгддэг ялгах.Энэ үйлдлийн тодорхойлолт, утгыг тусдаа хичээлээр хэлэлцэх болно.

Эндээс ялгах нь функц дээрх математикийн үйлдэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Бид ямар ч функцийг авч, тодорхой дүрмийн дагуу хувиргадаг. Үр дүн нь шинэ функц байх болно. Энэ шинэ функцийг дараах нэрээр нэрлэдэг. дериватив.

Ялгаварлах- функц дээрх үйлдэл.

Дериватив- энэ үйл ажиллагааны үр дүн.

Яг л жишээ нь, нийлбэр- нэмэлтийн үр дүн. Эсвэл хувийн- хуваагдлын үр дүн.

Нөхцөлүүдийг мэдэж байгаа тул та ядаж даалгавруудыг ойлгож чадна.) Томъёо нь дараах байдалтай байна. функцийн деривативыг олох; деривативыг авах; функцийг ялгах; деривативыг тооцоолохгэх мэт. Энэ бүгд адилхан.Мэдээжийн хэрэг, деривативыг олох (ялгаалах) нь асуудлыг шийдэх алхамуудын зөвхөн нэг нь болох илүү төвөгтэй ажлууд байдаг.

Деривативыг функцийн баруун дээд талд зураасаар тэмдэглэнэ. Үүн шиг: у"эсвэл f"(x)эсвэл S"(t)гэх мэт.

Уншиж байна igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te,За, чи ойлгож байна ...)

Анхны тоо нь тодорхой функцийн деривативыг мөн илэрхийлж болно, жишээлбэл: (2х+3)", (х 3 )" , (синкс)"гэх мэт. Ихэнхдээ деривативуудыг дифференциал ашиглан тэмдэглэдэг боловч бид энэ хичээл дээр ийм тэмдэглэгээг авч үзэхгүй.

Бид даалгавруудыг ойлгож сурсан гэж бодъё. Тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах л үлдлээ.) Дахин сануулъя: деривативыг олох нь тодорхой дүрмийн дагуу функцийг хувиргах.Гайхалтай нь эдгээр дүрмүүд маш цөөхөн байдаг.

Функцийн деривативыг олохын тулд та зөвхөн гурван зүйлийг мэдэх хэрэгтэй. Бүх ялгаанууд дээр тулгуурласан гурван багана. Энд эдгээр гурван багана байна:

1. Деривативын хүснэгт (ялгаалах томъёо).

3. Комплекс функцийн дериватив.

Дарааллаар нь эхэлцгээе. Энэ хичээлээр бид деривативын хүснэгтийг үзэх болно.

Деривативын хүснэгт.

Дэлхий дээр хязгааргүй олон тооны функц байдаг. Энэ багцын дунд практик хэрэглээнд хамгийн чухал функцууд байдаг. Эдгээр функцууд нь байгалийн бүх хуулиудад байдаг. Тоосго гэх мэт эдгээр функцүүдээс та бусад бүх зүйлийг барьж болно. Энэ ангиллын функцийг нэрлэдэг үндсэн функцууд.Сургуульд эдгээр функцуудыг судалдаг - шугаман, квадрат, гипербола гэх мэт.

Функцуудыг "эхнээс нь" ялгах, i.e. Деривативын тодорхойлолт, хязгаарын онол дээр үндэслэн энэ нь нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг зүйл юм. Математикчид ч гэсэн хүмүүс, тийм ээ, тийм!) Тиймээс тэд өөрсдийн (мөн бидний) амьдралыг хялбаршуулсан. Тэд бидний өмнө энгийн функцүүдийн деривативуудыг тооцоолсон. Үр дүн нь бүх зүйл бэлэн болсон деривативын хүснэгт юм.)

Энэ бол хамгийн алдартай функцүүдэд зориулагдсан хавтан юм. Зүүн талд нь энгийн функц, баруун талд нь дериватив байна.

	Чиг үүрэг y	y функцийн дериватив у"
1	C (тогтмол утга)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - дурын тоо)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	гэм х	(нүгэл х)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	арктан х
	arcctg x
4	а x
	д x
5	бүртгэл а x
	ln x ( a = e)

Энэ деривативын хүснэгтийн гурав дахь бүлгийн функцүүдэд анхаарлаа хандуулахыг би зөвлөж байна. Хүчин чадлын функцийн дериватив нь хамгийн түгээмэл биш юмаа гэхэд хамгийн түгээмэл томъёонуудын нэг юм! Та санааг ойлгож байна уу?) Тийм ээ, деривативын хүснэгтийг цээжээр мэдэхийг зөвлөж байна. Дашрамд хэлэхэд энэ нь санагдах шиг хэцүү биш юм. Илүү олон жишээг шийдэхийг хичээ, хүснэгт өөрөө санах болно!)

Таны ойлгож байгаагаар деривативын хүснэгтийн утгыг олох нь хамгийн хэцүү ажил биш юм. Тиймээс ийм даалгаварт нэмэлт чипүүд ихэвчлэн байдаг. Даалгаврын үг хэллэг, эсвэл хүснэгтэд байхгүй байгаа анхны функц дээр ...

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

1. y = x функцийн деривативыг ол 3

Хүснэгтэнд ийм функц байхгүй байна. Гэхдээ ерөнхий хэлбэрээр (гурав дахь бүлэг) чадлын функцийн дериватив байдаг. Манай тохиолдолд n=3. Тиймээс бид n-ийн оронд гурвыг орлуулж, үр дүнг анхааралтай бичнэ үү.

(х 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ингээд л болоо.

Хариулт: y" = 3x 2

2. y = sinx функцийн деривативын утгыг х = 0 цэгт ол.

Энэ даалгавар нь эхлээд синусын деривативыг олж, дараа нь утгыг орлуулах ёстой гэсэн үг юм x = 0ижил дериватив руу. Яг ийм дарааллаар!Үгүй бол тэд анхны функцэд тэгийг шууд орлуулах тохиолдол гардаг... Биднээс анхны функцийн утгыг биш харин утгыг олохыг шаарддаг. түүний дериватив.Дериватив нь шинэ функц гэдгийг танд сануулъя.

Таблетыг ашиглан бид синус ба холбогдох деривативыг олно.

y" = (sin x)" = cosx

Бид тэгийг дериватив болгон орлуулна:

y"(0) = cos 0 = 1

Энэ хариулт байх болно.

3. Функцийг ялгах:

Юу вэ, энэ нь сүнслэг нөлөө үзүүлдэг үү?) Деривативын хүснэгтэд ийм функц байхгүй.

Функцийг ялгана гэдэг нь ердөө л энэ функцийн деривативыг олох явдал гэдгийг сануулъя. Хэрэв та анхан шатны тригонометрийг мартсан бол манай функцийн деривативыг хайх нь нэлээд төвөгтэй юм. Хүснэгт нь тус болохгүй ...

Гэхдээ бидний үйл ажиллагаа гэдгийг харвал давхар өнцгийн косинус, тэгвэл бүх зүйл тэр дороо сайжирна!

Тийм тийм! Анхны функцийг хувиргана гэдгийг санаарай ялгахын өмнөнэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц! Мөн энэ нь амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөхөд хүргэдэг. Давхар өнцгийн косинусын томъёог ашиглан:

Тэдгээр. бидний төвөгтэй функц бол үүнээс өөр зүйл биш юм y = cosx. Мөн энэ бол хүснэгтийн функц юм. Бид нэн даруй авна:

Хариулт: y" = - sin x.

Ахисан түвшний төгсөгчид болон оюутнуудад зориулсан жишээ:

4. Функцийн деривативыг ол:

Мэдээжийн хэрэг деривативын хүснэгтэд ийм функц байхгүй. Гэхдээ хэрэв та анхан шатны математикийг санаж байвал хүч чадалтай үйлдлүүд ... Тэгвэл энэ функцийг хялбарчлах бүрэн боломжтой. Үүн шиг:

Аравны нэгийн х нь аль хэдийн хүснэгтийн функц юм! Гурав дахь бүлэг, n=1/10. Бид томъёоны дагуу шууд бичнэ:

Тэгээд л болоо. Энэ хариулт байх болно.

Ялгах эхний тулгуур болох деривативын хүснэгтээр бүх зүйл тодорхой байгаа гэж найдаж байна. Үлдсэн хоёр халимтай харьцах хэвээр байна. Дараагийн хичээлээр бид ялгах дүрмийг сурах болно.

Хүснэгтийн хамгийн эхний томьёог гаргаж авахдаа бид тухайн цэгийн дериватив функцийн тодорхойлолтоос эхэлнэ. Хаашаа авцгаая x- дурын бодит тоо, өөрөөр хэлбэл, x– функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын тоо. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг дараах байдлаар бичье.

Хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийлэл гарч ирснийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тэгийг тэгээр хуваасан тодорхой бус байдал биш, учир нь тоологч нь хязгааргүй жижиг утгыг агуулдаггүй, гэхдээ яг тэг байна. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол функцийн өсөлт үргэлж тэг байна.

Тиймээс, тогтмол функцийн деривативтодорхойлолтын бүх домайн даяар тэгтэй тэнцүү байна.

Хүчин чадлын функцийн дериватив.

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёо нь хэлбэртэй байна , илтгэгч хаана байна х- дурын бодит тоо.

Эхлээд натурал илтгэгчийн томъёог баталъя, өөрөөр хэлбэл for p = 1, 2, 3, …

Бид деривативын тодорхойлолтыг ашиглах болно. Хүчин чадлын функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичье.

Тоолуур дахь илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид Ньютоны бином томъёо руу шилждэг.

Тиймээс,

Энэ нь натурал экспонентийн чадлын функцийн деривативын томъёог баталж байна.

Экспоненциал функцийн дериватив.

Бид дараах тодорхойлолт дээр үндэслэн дериватив томъёоны гарал үүслийг танилцуулж байна.

Бид тодорхойгүй байдалд ирлээ. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, . Дараа нь . Сүүлийн шилжилтийн үед бид шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёог ашигласан.

Анхны хязгаарыг орлуулъя:

Хэрэв бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг эргэн санавал экспоненциал функцийн деривативын томъёонд хүрнэ.

Логарифм функцийн дериватив.

Бүгдэд зориулсан логарифм функцийн деривативын томъёог баталъя xтодорхойлолтын домэйн болон суурийн бүх хүчинтэй утгуудаас алогарифм Деривативын тодорхойлолтоор бид:

Таны анзаарснаар нотлох явцад логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувиргалтыг хийсэн. Тэгш байдал хоёр дахь гайхалтай хязгаарын улмаас үнэн юм.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативын томъёог гаргахын тулд бид тригонометрийн зарим томьёо, мөн эхний гайхалтай хязгаарыг эргэн санах хэрэгтэй болно.

Синусын функцийн деривативын тодорхойлолтоор бид байна .

Синусын зөрүүний томъёог ашиглая:

Эхний гайхалтай хязгаарт шилжих хэвээр байна:

Тиймээс функцийн дериватив гэм хБайна cos x.

Косинусын деривативын томъёог яг ижил аргаар нотолсон.

Тиймээс функцийн дериватив cos xБайна – нүгэл х.

Бид шүргэгч ба котангенсийн деривативын хүснэгтийн томъёог ялгах батлагдсан дүрмийг (бутархайн дериватив) ашиглан гаргана.

Гиперболын функцүүдийн деривативууд.

Ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгтээс экспоненциал функцийн деривативын томъёо нь гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёог гаргаж авах боломжийг олгодог.

Урвуу функцийн дериватив.

Танилцуулгын явцад төөрөгдөл гарахгүйн тулд дифференциалыг гүйцэтгэдэг функцийн аргументыг, өөрөөр хэлбэл энэ нь функцийн дериватив гэдгийг дэд тэмдэгтээр тэмдэглэе. f(x) By x.

Одоо томъёолъё урвуу функцийн деривативыг олох дүрэм.

Функцуудыг зөвшөөр у = f(x)Тэгээд x = g(y)харилцан урвуу, интервалууд болон тус тусад нь тодорхойлогддог. Хэрэв тухайн цэг дээр функцийн төгсгөлтэй тэгээс бус дериватив байвал f(x), тэгвэл тухайн цэг дээр урвуу функцийн төгсгөлөг дериватив байна g(y), ба . Өөр бичлэгт .

Энэ дүрмийг хэнд ч өөрчилж болно xинтервалаас , дараа нь бид авна .

Эдгээр томъёоны үнэн зөвийг шалгацгаая.

Натурал логарифмын урвуу функцийг олъё (Энд yнь функц бөгөөд x- маргаан). Энэ тэгшитгэлийг шийдсэний дараа x, бид (энд xнь функц бөгөөд y- түүний аргумент). Тэр бол, ба харилцан урвуу функцууд.

Деривативын хүснэгтээс бид үүнийг харж байна Тэгээд .

Урвуу функцийн деривативыг олох томъёо нь биднийг ижил үр дүнд хүргэж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Экспонентийн дериватив нь илтгэгчтэй тэнцүү (e-ийн x-ийн дериватив нь e-ийн x-ийн дериватив):
(1) (e x )′ = e x.

a зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцийн дериватив нь функцийг өөрөө а-ын натурал логарифмаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
(2) .

Экспоненциал e-ийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Экспоненциал гэдэг нь суурь нь дараах хязгаар болох e тоотой тэнцүү экспоненциал функц юм.
.
Энд энэ нь натурал тоо эсвэл бодит тоо байж болно. Дараа нь бид экспоненциалын деривативын томъёог (1) гаргана.

Экспоненциал дериватив томъёоны гарал үүсэл

Экспоненциал, e-ийг x-ийн хүчийг авч үзье.
y = e x .
Энэ функц нь хүн бүрт зориулагдсан байдаг. Түүний x хувьсагчтай холбоотой деривативыг олъё. Тодорхойлолтоор дериватив нь дараахь хязгаар юм.
(3) .

Энэ илэрхийллийг мэдэгдэж буй математик шинж чанар, дүрмүүд рүү багасгахын тулд хувиргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд дараах баримтууд хэрэгтэй.
A)Экспонент шинж чанар:
(4) ;
B)Логарифмын шинж чанар:
(5) ;
IN)Логарифмын тасралтгүй байдал ба тасралтгүй функцийн хязгаарын шинж чанар:
(6) .
Энд хязгаартай функц байгаа бөгөөд энэ хязгаар нь эерэг байна.
G)Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын утга:
(7) .

Эдгээр баримтуудыг өөрсдийн хязгаарт хэрэгжүүлцгээе (3). Бид өмчийг ашигладаг (4):
;
.

Сэлгээ хийцгээе. Дараа нь; .
Экспоненциалын тасралтгүй байдлын улмаас
.
Иймд хэзээ , . Үүний үр дүнд бид:
.

Сэлгээ хийцгээе. Дараа нь . -д. Мөн бидэнд байна:
.

Логарифмын шинж чанарыг хэрэглэцгээе (5):
. Дараа нь
.

Үл хөдлөх хөрөнгийг (6) ашиглацгаая. Эерэг хязгаар байх ба логарифм нь тасралтгүй байх тул:
.
Энд бид бас хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашигласан (7). Дараа нь
.

Тиймээс бид экспоненциалын дериватив (1) томъёог олж авлаа.

Экспоненциал функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Одоо бид а зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцийн деривативын томъёог (2) гаргаж авлаа. Бид үүнд итгэдэг бөгөөд . Дараа нь экспоненциал функц
(8)
Хүн бүрт зориулж тодорхойлсон.

Томъёо (8)-ийг хувиргацгаая. Үүний тулд бид экспоненциал функц болон логарифмын шинж чанарыг ашиглана.
;
.
Тиймээс бид (8) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлэв.
.

e-ийн x-ийн дээд эрэмбийн деривативууд

Одоо дээд эрэмбийн деривативуудыг олцгооё. Эхлээд экспонентийг харцгаая:
(14) .
(1) .

(14) функцийн дериватив нь (14) функцтэй тэнцүү болохыг бид харж байна. (1) ялгахдаа бид хоёр ба гурав дахь эрэмбийн деривативуудыг олж авна.
;
.

Энэ нь n-р эрэмбийн дериватив нь анхны функцтэй тэнцүү болохыг харуулж байна:
.

Экспоненциал функцийн дээд эрэмбийн деривативууд

Одоо a зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцийг авч үзье.
.
Бид түүний анхны деривативыг олсон:
(15) .

(15) ялгахдаа бид хоёр, гурав дахь эрэмбийн деривативуудыг олж авна.
;
.

Ялгавар бүр нь анхны функцийг үржүүлэхэд хүргэдэг гэдгийг бид харж байна. Тиймээс n-р эрэмбийн дериватив нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Деривативын тооцоог улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт ихэвчлэн олдог. Энэ хуудсанд дериватив олох томъёоны жагсаалтыг агуулсан болно.

Ялгах дүрэм

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Хэрэв y=F(u), u=u(x) бол y=f(x)=F(u(x)) функцийг x-ийн нийлмэл функц гэнэ. y′(x)=Fu′⋅ ux′-тай тэнцүү.
5. Далд функцийн дериватив. F(x,f(x))≡0 бол y=f(x) функцийг F(x,y)=0 хамаарлаар тодорхойлогдсон далд функц гэнэ.
6. Урвуу функцийн дериватив. Хэрэв g(f(x))=x бол g(x) функцийг y=f(x) функцийн урвуу функц гэнэ.
7. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив. x ба y-г t хувьсагчийн функц гэж тодорхойлъё: x=x(t), y=y(t). Тэд y=y(x) нь x∈ (a;b) интервал дээр параметрийн тодорхойлогдсон функц гэж хэлдэг, хэрэв энэ интервал дээр x=x(t) тэгшитгэлийг t=t(x) ба функцээр илэрхийлж болно. y=y( t(x))=y(x).
8. Хүч-экспоненциал функцийн дериватив. Натурал логарифмын суурь дээр логарифмуудыг авснаар олно.

Энэ хүснэгт олон удаа хэрэгтэй байж болох тул бид танд холбоосыг хадгалахыг зөвлөж байна.