Цилиндром называется геометрическое тело. Тела вращения. Цилиндр, его элементы и сечения. Тема урока: Цилиндр, его элементы

Цилиндр

Опр. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых

параллельным переносом и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки

этих кругов.

Круги называют основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей этих кругов – образующими цилиндра (рис. 1)

рис. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4

Свойства цилиндра:

1) Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.

2) Образующие цилиндра равны и параллельны.

Опр. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Опр. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Опр. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник со сторонами 2R и l (в прямом цилиндре l = Н) рис. 2

Сечение цилиндра, параллельные его оси, являются прямоугольниками (рис. 3).

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям – круг, равный основаниям (рис. 4)

Площадь поверхности цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра составлена из образующих.

Полная поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

S полн = 2 S осн + S бок ; S осн = П ∙ R 2 ; S бок = 2 П ∙ R ∙Н S полн = 2П R ∙(R + Н)

Практическая часть:

№1. Радиус цилиндра равен 3см, а его высота- 5см. Найдите площадь осевого сечения и площадь пол-

ной поверхности цилиндра.

№2. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом
и равна 20 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№3. Радиус цилиндра равен 2см, а его высота- 3см. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра.

№4. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная
, образует с плоскостью основания угол
. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15. Найдите площадь осевого сечения.

№6. Найдите высоту цилиндра, если площадь его основания равна 1, а S бок =
.

№7. Диагональ осевого сечения цилиндра имеет длину 8см и наклонена к плоскости основания под углом
. Найдите полную поверхность цилиндра.

Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65см имеет высоту 18м. Сколько жести нужно для её изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?

Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой - направляющей . Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности .

Прямой цилиндр - это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр .

Круговой цилиндр - цилиндр, основанием которого является круг.

Круглый цилиндр - такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.

Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L , которая равна высоте цилиндра H .

Призма - это частный случай цилиндра.

Формулы нахождения элементов цилиндра.

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

S бок = 2πRH

Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:

S = S бок + 2S осн = 2 π R(H + R)

Объем прямого кругового цилиндра:

V = S осн H = πR 2 H

Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R , минимальной высоты h 1 и максимальной высоты h 2 .

Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:

S бок = πR(h 1 + h 2)

Площадь оснований скошенного цилиндра.

Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит их двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра , а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра . Эти отрезки образуют цилиндрическую поверхность, являющуюся боковой поверхностью цилиндра .

Если основаниями цилиндра не являются круги, то цилиндр может быть эллиптическим. Обычно, такие виды цилиндра в элементарной геометрии не рассматриваются.

Альтернативное определение .

Цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями.

Полная поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

Цилиндр называется прямым , если его образующие перпендикулярны к плоскости оснований.

Прямой цилиндр наглядно можно представить как тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг стороны как оси.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры основания. Она параллельна образующим.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две стороны его – образующие цилиндра, а две другие – параллельные хорды оснований. Осевое сечение цилиндра – это сечение плоскостью, проходящей через его ось.

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту Н :

Если у цилиндра известны только площадь основания и образующая, то объем такого цилиндра будет равен произведению площади основания на образующую и синус угла между основанием и образующей .

Для цилиндра, в основании которого лежит круг, объем цилиндра будет равен площади круга на высоту .

Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра с радиусом R основания и высотой Н

Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра.

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность составляют образующие.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси. Существуют и другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический. Призму так же рассматривают, как разновидность цилиндра.

На рисунке 2 изображён наклонный цилиндр. Круги с центрами О и О 1 являются его основаниями.

Радиус цилиндра – радиус его основания. Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой – равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Её боковые рёбра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если её основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости её граней касаются боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить, умножив длину образующей на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, которая равна периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

В частности, для прямого кругового цилиндра:

P = 2πR, и S b = 2πRh.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Для нахождения объёма наклонного цилиндра существуют две формулы.

Можно найти объём, умножив длину образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Объём наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):

V = Sh = S l sin α,

где l – длина образующей, а α – угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l.

Формула для нахождения объёма кругового цилиндра выглядит следующим образом:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

где d – диаметр основания.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

kýlindros , валик, каток) - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

Бесконечное тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называется бесконечным цилиндром , ограниченное замкнутым цилиндрическим лучом и его основанием, называется открытым цилиндром . Основание и образующие цилиндрического луча называют соответственно основанием и образующими открытого цилиндра.

Конечное тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя выделившими её сечениями, называется конечным цилиндром , или собственно цилиндром . Сечения называются основаниями цилиндра. По определению конечной цилиндрической поверхности, основания цилиндра равны.

Очевидно, образующие боковой поверхности цилиндра - равные по длине (называемой высотой цилиндра) отрезки, лежащие на параллельных прямых, а концами лежащие на основаниях цилиндра. К математическим курьёзам относят определение любой конечной трёхмерной поверхности без самопересечений как цилиндра нулевой высоты (данную поверхность считают одновременно обоими основаниями конечного цилиндра). Основания цилиндра качественно влияют на цилиндр.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости . Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра - круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс - то эллиптическом.

Объём конечного цилиндра равен интегралу площади основания по образующей. В частности, объём прямого кругового цилиндра равен

,

(где - радиус основания, - высота).

Площадь боковой поверхности цилиндра считается по следующей формуле:

.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:

.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Цилиндр (геометрия)" в других словарях:

Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

- (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ГЕОМЕТРИЯ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ - форма свободной поверхности, образующаяся под действием силы тяжести и центробежной силы при вращении жидкого металла вокруг оси вращения. При горизонтальной оси вращения свободная поверхность представляет собой круговой цилиндр, при вертикальной … Металлургический словарь

Раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и …

У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамидацу (значения). Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обcуждения могут быть пояснения … Википедия

Теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между внешней и внутренней. геометрией подмногообразий евклидова или риманова пространства. П. м. г. является обобщением классич. дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом пространстве.… … Математическая энциклопедия

Декартова система координат Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором … Википедия

Раздел геометрии, в к ром изучаются геометрич. образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич. анализа. Обычно в Д. г. изучаются свойства кривых и поверхностей в малом, т. е. свойства сколь угодно малых их кусков. Кроме того, в … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения). Объём это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого… … Википедия

Часть геометрии, входящая в элементарную математику (См. Элементарная математика). Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, которая изучается в… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Весёлая геометрия для самых маленьких , Тимофеевский Александр Павлович. Новая книга замечательного поэта, автора всем известной Песенки крокодила Гены Александра Тимофеевского с яркими иллюстрациями Леонида Шмелькова в игровой форме знакомит малышей с основными…