Частные случаи применения интеграла бернулли. Бернулли уравнение (интеграл Бернулли). Применение в гидравлике

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Плотность жидкости,

Скорость потока,

Высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

Давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

Ускорение свободного падения.

Константа в правой части обычно называется напором , или полным давлением, а также интегралом Бернулли . Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли . (Не путать с дифференциальным уравнением Бернулли.)

Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ: .

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из гидростатического (ρgh ), атмосферного (p) и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях).

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

,

p 0 - атмосферное давление,

h - высота столба жидкости в сосуде,

v - скорость истечения жидкости.

Отсюда: . Это - формула Торричелли (англ.). Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h .

Бернулли уравнение (интеграл Бернулли) в гидроаэромеханике [[по имени швейцарского учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli)], одно из основных уравнений гидромеханики, которое при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести имеет вид:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
где v - скорость жидкости, ρ - её плотность, р - давление в ней, h - высота жидкой частицы над некоторой горизонтальной плоскостью, g - ускорение свободного падения, С - величина, постоянная на каждой линии тока, но в общем случае изменяющая своё значение при переходе от одной линии тока к другой.

Сумма первых двух членов в левой части уравнения (1) равна полной потенциальной, а третий член - кинетической энергиям, отнесённым к ед. массы жидкости; следовательно, всё уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии и устанавливает важную зависимость между v, p и h. Например, если при неизменной h скорость течения вдоль линии тока возрастает, то давление падает, и наоборот. Этот закон используют при измерении скорости с помощью трубок измерительных и при других аэродинамических измерениях.

Уравнение Бернулли представляют также в виде
h + p/γ + v 2 /2g = C или
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(где γ =ρg - удельный вес жидкости). В 1-м равенстве все слагаемые имеют размерность длины и называются соответствующей геометрической (нивелирной), пьезометрической и скоростной высотами, а во 2-м - размерности давления и соответственно именуются весовым, статическим и динамическим давлениями.

В общем случае, когда жидкость является сжимаемой (газ), но баротропной, т. е. р в ней зависит только от ρ, и когда её движение происходит в любом, но потенциальном поле объёмных (массовых) сил (см. Силовое поле), уравнение Бернулли получается как следствие Эйлера уравнений гидромеханики и имеет вид:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
где П - потенциальная энергия (потенциал) поля объёмных сил, отнесённая к ед. массы жидкости. При течении газов значение П мало изменяется вдоль линии тока, и его можно включить в константу, представив (3) в виде:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

В технических приложениях для течения, осреднённого по поперечному сечению канала, применяют т. н. обобщённое уравнение Бернулли: сохраняя форму уравнений (1) и (3), в левую часть включают работу сил трения и преодоления гидравлических сопротивлений, а также механическую работу жидкости или газа (работу компрессора или турбин) с соответствующим знаком. Обобщённое уравнение Бернулли широко применяется в гидравлике при расчёте течения жидкостей и газов в трубопроводах и в машиностроении при расчёте компрессоров, турбин, насосов и других гидравлических и газовых машин.

Предположим, что жидкость идеальна, массовые силы консервативны, движение установившееся, имеет место баротропность на линии тока.

Так как жидкость идеальна, то уравнение движения

Так как массовые силы консервативны, то

и уравнение (2.1) можно переписать в виде

(2.3)

Предположение о баротропности на линии тока означает, что

где С постоянна на линии тока.

При установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Обозначим через dr(dx,dy,dz) элементарное перемещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2.3) на

Так как линия тока является и траекторией, то

Кроме того,

Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим

Имея в виду (2.4), введем функцию Р(р, С):

С учетом (2.9) равенство (2.8) можно переписать в виде

(2.11)

Равенства (2.10) и (2.11) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (2.11) может изменяться при переходе от одной линии тока к другой.

Равенство (2.11) называют интегралом Бернулли.

Рассмотрим интеграл Бернулли для двух важных случаев.

1. Однородная несжимаемая жидкость. В этом случае - заданная постоянная и . Интеграл Бернулли примет вид

Если массовые силы - силы тяжести, то V = gz и интеграл Бернулли в этом случае

Отдельные слагаемые в (2.14) имеют размерность длины и называются соответственно: - скоростной, z - геометрической, - пьезометрической высотами. Равенство (2.14) позволяет дать такую формулировку интергала Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока.

2. Совершенный газ. В этом случае уравнение состояния есть уравнение Клапейрона . При сделанных в этой главе предположениях имеет место адиабата Пуассона (1.11). Введем новую постоянную . Тогда

Учитывая (2.15), вычисляем :

Подставив (2.16) в (2.11), получим интеграл Бернулли в виде

Из физики известно, что производная равна квадрату скорости звука. В случае адиабатического процесса можно убедиться, что . Таким образом,

Эта формула является одной из важных формул газовой динамики. В газовой динамике обычно массовые силы не учитывают, а постоянную С обозначают через . В этом случае интеграл Бернулли принимает вид

Здесь v - скорость газа, а - скорость звука в той же точке.

Чтобы определить постоянную в правой части (2.19), достаточно знать характеристики в какой-либо одной точке линии тока. Из (2.19) следует, что скорость звука и температура, а с учетом (2.15), и давление и плотность будут максимальными на линии тока в точке, где скорость равна нулю. Эти величины обычно обозначают через и называют параметрами адиабатически заторможенного газа (параметрами торможения) . Величину называют энтальпией (теплосодержанием). Соответственно постоянную в правой части интеграла (2.19) называют энтальпией торможения. Положив в (2.19) скорость , получим выражение для через параметры заторможенного газа.

Интеграл Бернулли.

Придадим уравнению количества движения иную форму. Для этого воспользуемся известной формулой вектор­ного анализа

положив в ней . Следовательно, справедливо равенство

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, уравнение количества движения приобретет вид уравнения Громеки – Лэмба

(2.79)

Как мы убедимся в дальнейшем, эта форма уравнения чрезвы­чайно удобна для анализа течения идеальной жидкости.

Рассмотрим сначала случай стационарного течения, т. е. поло­жим , и умножим (2.48) скалярно на вектор . Тогда по­лучим

(2.80)

Так как массовые силы имеют потенциал П, то

Вместе с тем, пусть существует функция давления

Течения, в которых плотность зависит только от давления, на­зываются баротропными. Градиент функции , равный

может рассматриваться как вектор объёмного действия поверх­ностных сил, а сама функция как потенциал объёмно­го действия поверхностных сил .

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, (2.80) дает

Сумму, стоящую в скобках, называют трехчленом Бернулли и обозначают как В : .

Итак, , где означает производную, взятую вдоль линии тока. Отсюда следует, что B=const или

(2.83)

Напомним, что это соотношение справедливо вдоль линии тока. При переходе от одной линии тока к другой константа͵ в принципе, может изменяться. Равенство (2.83) будет справедливо по всœей области течения, в случае если , что возможно при или при .

Равенство (2.83) носит название интеграла Бернулли . Соотно­шение (2.83) часто называют также теоремой (уравнением) Бернулли .

В гидромеханике (и особенно в гидравлике) наиболее распрост­раненным является случай интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости. Положим ρ=const . Тогда . Будем считать, что жидкость находится только под действием сил тяжести, т. е. , где y – ось, направленная вертикально вверх. Та­ким образом, теорема Бернулли принимает следующую форму:

(2.84)

В случае если поделить всœе члены на ускорение силы тяжести g и обо­значить константу через Н*, то можно записать

, (2.85)

где – удельный вес; Н* – гидравлическая высота͵

и дать теореме Бернулли классическую формулировку:

при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота Н* , равная сумме скоростной , пьезометрической и нивелирной у высот, сохраняет посто­янное значение вдоль любой линии тока (или вихревой линии).

В пренебрежении силами тяжести теореме Бернулли можно при­дать более простой вид:

(2.86)

Первый член левой части называют пьезометрическим напором или статическим давлением, второй – скоростным напором или ди­намическим давлением. Правая часть представляет собой полный напор или давление торможения.

Рассмотрим теперь адиабатическое течение воды в рамках невесомой идеальной жидкости. В соответствии с уравнением Тэйта будем иметь

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, теорема Бернулли для сжимаемой воды будет выглядеть так:

(2.87)

Предположим, что параметры жидкость приобретает в точке, где скорость обращается в нуль. В случае если в действительности такая точка отсутствует, то можно представить себе воображаемое движение идеальной сжимаемой жидкости, адиабатически её за­тормаживающее. Величины и в данном случае называются соответственно давлением и плотностью торможения. При сделанном предположении уравнение (2.87) примет вид

(2.88)

Интеграл Бернулли. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Интеграл Бернулли." 2017, 2018.

уравнений гидродинамики - интеграл, определяющий давление рв каждой точке установившегося потока идеальной однородной жидкости или баротропного газа через скорость потока в соответствующей точке и через силовую функцию объемных сил: Постоянная Симеет для каждой линии тока свое значение, меняющееся при переходе от одной линии тока к другой. Если движение потенциальное, то постоянная Сдля всего потока одна и та же. Для неустановившегося движения Б. и. (наз. иногда интегралом Коши - Лагранжа) имеет место при наличии потенциала скоростей: причем и есть произвольная функция времени. Для несжимаемой жидкости левая часть уравнений (1), (2) приводится к виду; для баротропного газа - к виду: Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.: Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Смотреть значение Бернулли Интеграл в других словарях

Интеграл — м. математ. лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. ьное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу.........
Толковый словарь Даля

Интеграл — интеграла, м. (от латин. integer - целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее - к диференциалу.
Толковый словарь Ушакова

Интеграл М. — 1. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.
Толковый словарь Ефремовой

Интеграл — [тэ], -а; м. [от лат. integer - целый] Матем. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию.
◁ Интегра́льный, -ая, -ое. И-ое исчисление (раздел математики,........
Толковый словарь Кузнецова

Бернулли, Даниил — (Bernoulli, Daniel) (1700-1782) Швейцарский математик и естествоиспытатель. Принадлежал к знаменитой семье ученых, родоначальник которой Якоб Бернулли был выходцем из Голландии.........
Экономический словарь

Бернулли Принцип — (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. ученый) правило, согласно котором у сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени ее........
Большой медицинский словарь

Бернулли — (Bernoulli) Даниэль (1700-82), швейцарский математик и физик, член знаменитой семьи математиков. В своих трудах по гидродинамике показал, что давление жидкости уменьшается по........

Закон Бернулли — , для стабильно текущего потока (газа или жидкости) сумма давления, кинетической энергии на единицу объема и потенциальной энергии на единицу объема является постоянной........
Научно-технический энциклопедический словарь

Интеграл — (обозначение т). Математический символ, используемый в ИСЧИСЛЕНИИ, представляющий операцию суммирования. функции f(x), записанный как т f(x)dx, может представлять площадь........
Научно-технический энциклопедический словарь

Бернулли — (Bernoulli) Иоганн (1667-1748) - иностранный почетный членПетербургской АН (1725), брат Якоба. Труды по исчислениюбесконечно малых и вариационному исчислению.

Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь

Бернулли Уравнение — связывает скорость и давление в потоке идеальнойнесжимаемой жидкости при установившемся течении. выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяетсяв........
Большой энциклопедический словарь

Интеграл — (от лат. integer - целый) - см. ьное исчисление.
Большой энциклопедический словарь

Кратный Интеграл — интеграл от функции нескольких переменных. Определяетсяпри помощи интегральных сумм, аналогично определенному интегралу отфункции одного переменного (см. Интегральное........
Большой энциклопедический словарь

Криволинейный Интеграл — интеграл от функции, заданной вдоль какой-либокривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определенномуинтегралу, а при некоторых дополнительных условиях........
Большой энциклопедический словарь

Неопределенный Интеграл
Большой энциклопедический словарь

Несобственный Интеграл — обобщение понятия интеграла на случайнеограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежуткеинтегрирования.
Большой энциклопедический словарь

Определенный Интеграл — см. Интегральное исчисление.
Большой энциклопедический словарь

Поверхностный Интеграл — интеграл от функции, заданной на какой-либоповерхности. При некоторых условиях его можно свести к тройному интегралу(Остроградского формула).
Большой энциклопедический словарь

Бернулли, Даниил — - член Академии наук, математик и врач, род. 29 января 1700 г. в Гренингене, в Швейцарии, ум. 17 марта 1782 г. в Базеле. Семья Бернулли происходит из Антверпена. Спасаясь от религиозного........

Бернулли, Иван — - брат Даниила Бернулли, род. в Базеле 18 мая 1710 г., ум. там же 18 июля 1790 г. В молодости он изучал правоведение в базельском университете. 14-ти лет от роду получил степень........
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли, Николай — - юрист и математик, сын Иоганна Бернулли, род. 27 января 1695 г. в Гренингене или Базеле, ум. в С.-Петербурге 29 июля 1726 г. Он с детских лет отличался живостью ума и выдающимися........
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли, Яков — - племянник Даниила Бернулли, профессор математики в Петербурге, род. 27 октября 1759 г. в Базеле, ум. 15 июля 1789 г. в С.-Петербурге. Окончив курс в базельском университете,........
Большая биографическая энциклопедия

Интеграл, Михаил — издал сборн.
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли — (Bernoulli) - семья швейц. учёных в области муз. акустики. Иоганн Б. (17 VII 1667, Базель - 1 I 1748, там же) - автор исследования "Изобретения в области колебания натянутых хорд" ("Erfindungen........
Музыкальная энциклопедия

Бернулли, Распределение — См. биноминальное распределение.
Психологическая энциклопедия

Бернулли, Тест — Любой тест или ситуация с двумя взаимно исключающими и исчерпывающими возможными результатами; например, орел/решка при подбрасывании монеты. В серии тестов Бернулли........
Психологическая энциклопедия

Берну́лли При́нцип — (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. ученый)
правило, согласно которому сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени........
Медицинская энциклопедия

Потребность-интеграл — Термин Г. Мюррея, используемый для того, чтобы охарактеризовать динамическую интеграцию моделей поведения, включая пути, движения, цели и целевые объекты человека.........
Психологическая энциклопедия

Распределение Бернулли — См. распределение, биноминальное.
Психологическая энциклопедия