Задача отыскания первообразной функции не всегда имеет решение, в то время как продифференцировать мы можем любую функцию. Это объясняет отсутствие универсального метода интегрирования.

В этой статье мы рассмотрим на примерах с подробными решениями основные методы нахождения неопределенного интеграла. Также сгруппируем виды подынтегральных функций, характерные для каждого метода интегрирования.

Навигация по странице.

Непосредственное интегрирование.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

Пример.

Найдите множество первообразных функции .

Решение.

Запишем функцию в виде .

Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:

Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем .

Для нахождения второго интеграла воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции и правилом . То есть, .

Следовательно,

где

Интегрирование методом подстановки.

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Введем новую переменную . Выразим х через z :

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:

Из таблицы первообразных имеем .

Осталось вернуться к исходной переменной х :

Ответ:

Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций . К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.

Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования .

Вводим новую переменную , тогда

Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:

Если принять и вернуться к исходной переменной х , то получим

Подведение под знак дифференциала.

Метод подведения под знак дифференциала основан на приведении подынтегрального выражения к виду . Далее применяется метод подстановки: вводится новая переменная и после нахождения первообразной для новой переменной, возвращаемся к исходной переменной, то есть

Для удобства, расположите перед глазами в виде дифференциалов, чтобы проще было преобразовывать подынтегральное выражение, а также таблицу первообразных , чтобы видеть к какому виду преобразовывать подынтегральное выражение.

Для примера найдем множество первообразных функции котангенса.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Подынтегральное выражение можно преобразовать, используя формулы тригонометрии:

Взглянув в таблицу производных, заключаем, что выражение в числителе можно подвести под знак дифференциала , поэтому

То есть .

Пусть , тогда . Из таблицы первообразных видим, что . Возвращаемся к исходной переменной .

Без пояснения решение записывается так:

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения и последующем применении формулы . Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.

Пример.

Вычислить неопределенный интеграл .

Решение.

Пусть , тогда

Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С .

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.

Так как , то . Поэтому

Следовательно,

где .

Ответ:

Основные трудности при интегрировании по частям порождает выбор: какую часть подынтегрального выражения брать за функцию u(x) , а какую за дифференциал d(v(x)) . Однако существует ряд стандартных рекомендаций, с которыми рекомендуем ознакомиться в разделе интегрирование по частям .

При интегрировании степенных выражений, например или , пользуются рекуррентными формулами, позволяющими понижать степень от шага к шагу. Эти формулы получены последовательным многократным интегрированием по частям. Рекомендуем ознакомиться с разделом интегрирование с использованием рекуррентных формул .

В заключении хочется обобщить весь материал этой статьи. Основой основ является метод непосредственного интегрирования. Методы подстановки, подведения под знак дифференциала и метод интегрирования по частям позволяют привести исходный интеграл к табличным.

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=
.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2. Найти
.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

=
.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6. Найти
.

 Умножив подынтегральное выражение на
находим

=
.

Пример 7 .

Пример 8 .

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции
.

Переход в этом равенстве слева направо называют "подведением множителя
под знак дифференциала".

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и
,

где
- любая дифференцируемая функция отx . Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что
, следует
. Возьмем теперь функцию
. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функции  имеем

Пусть требуется вычислить интеграл
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде

т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
и последующей подстановке
.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3 . .

Пример 4 . .

Пример 5 .
.

Пример 6 . .

Пример 7 . .

Пример 8. .

Пример 9. .

Пример 10 . .

Пример 11.

Пример 12 . НайтиI=
(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

Следовательно,

Таким образом,
.

Пример 12а. НайтиI =
,
.

 Так как
,

следовательно I = . 

Пример 13. Найти
(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14. НайтиI=
(х а ,а 0).

 Имеем
.

Итак,

(х а ,а 0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение
к виду
, гдеесть некоторая функция отx иg – функция более простая для интегрирования, чемf .

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

гдеb – постоянная величина

,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что x есть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подx понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
(х а ,а 0).

9.
(а 0).

Операция подведения функции
под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойх на новую переменную
. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15. НайтиI=
.

 Произведем замену переменной по формуле
, тогда
, т.е.
иI=
.

Заменив u его выражением
, окончательно получим

I=
.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции
.

Пример 16. Найти
.

 Положим
, тогда
, откуда
. Следовательно,

Пример 17. Найти
.

 Пусть
, тогда
, или
. Следовательно,

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=
.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл
(
- непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку
, где
- функция, имеющая непрерывную производную. Тогда
,
и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

Производят замену под интегралом.

Находят полученный интеграл.

Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18. Найти
.

Пример 19. Найти
.

=
.

Этот интеграл найдем подведением
под знак дифференциала.

=.

Пример 20. Найти
(
).

, т.е.
, или
. Отсюда
, т.е.
.

Таким образом, имеем
. Заменяяего выражением черезx , окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:
(
).

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки
лучше выполнять замену переменной вида
.

Пример 21. Найти
.

Пример 22. Найти
.

 Воспользуемся подстановкой
. Тогда
,
,
.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23. Найти
.

=
.

Итак,
.

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24. Найти
.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

В этой теме мы подробно поговорим о свойствах неопределённого интеграла и о нахождении самих интегралов с помощью упомянутых свойств. Также поработаем с таблицей неопределенных интегралов . Материал, изложенный здесь, есть продолжение темы "Неопределённый интеграл. Начало" . Честно говоря, в контрольных работах редко встречаются интегралы, которые можно взять с использованием типичных таблиц и(или) простейших свойств. Эти свойства можно сравнить с азбукой, знание и разумение которой необходимы для понимания механизма решения интегралов в иных темах. Часто интегрирование с использованием таблиц интегралов и свойств неопределённого интеграла именуют непосредственным интегрированием .

К чему я веду: функции меняются, но формула для нахождения производной остаётся неизменной, - в отличие от интеграла, для которого уже пришлось перечислить два метода.

Пойдём дальше. Чтобы найти производную $y=x^{-\frac{1}{2}}\cdot(1+x^{\frac{1}{4}})^\frac{1}{3}$ применима всё та же формула $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, в которую придётся подставить $u=x^{-\frac{1}{2}}$, $v=(1+x^{\frac{1}{4}})^\frac{1}{3}$. А вот чтобы найти интеграл $\int x^{-\frac{1}{2}}\cdot(1+x^{\frac{1}{4}})^\frac{1}{3} dx$ потребуется применение нового метода - подстановок Чебышева.

Ну и напоследок: для нахождения производной функции $y=\sin x\cdot\frac{1}{x}$ вновь применима формула $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, в которую вместо $u$ и $v$ подставим соответственно $\sin x$ и $\frac{1}{x}$. А вот $\int \sin x\cdot\frac{1}{x} dx$ не берётся. Точнее, не выражается через конечное число элементарных функций.

Подведём итоги: там, где для нахождения производной понадобилась одна формула, для интеграла потребовались четыре (и это не предел), - причем в последнем случае интеграл находиться отказался вообще. Изменили функцию - понадобился новый метод интегрирования. Вот отсюда и имеем многостраничные таблицы в справочниках. Отсутствие общего метода (пригодного для решения "вручную") приводит к изобилию частных методик, которые применимы лишь для интегрирования своего, крайне ограниченного класса функций (в дальнейших темах мы займёмся этими методами подробно). Хотя не могу не отметить наличие алгоритма Риша (советую почитать описание в Википедии), но он пригоден лишь для программной обработки неопределённых интегралов.

Вопрос №3

Но если этих свойств так много, как же мне научиться брать интегралы? С производными было полегче!

Для человека пока существует лишь один способ: решить как можно больше примеров на применение различных методик интегрирования, чтобы при появлении нового неопределённого интеграла можно было подобрать для него метод решения, основываясь на своём опыте. Понимаю, что ответ не слишком обнадёживает, но иного нет.

Свойства неопределённого интеграла

Свойство №1

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Это свойство вполне естественно, ибо интеграл и производная - взаимно обратные операции. Например, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac{4}{\arccos x}\right) dx\right)"=3x^2+\frac{4}{\arccos x}$ и так далее.

Свойство №2

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции, т.е. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Обычно данное свойство воспринимается несколько затруднительно, поскольку кажется, что под интегралом "ничего нет". Чтобы этого избежать, можно записать указанное свойство так: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Пример применения этого свойства: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ или, если угодно, в такой форме: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Свойство №3

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (полагаем, что $a\neq 0$).

Свойство довольно простое и, пожалуй, комментариев не требует. Примеры: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^{7x}) dx=2\cdot\int(x+2e^{7x})dx$, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Свойство №4

Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Примеры: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\int \sin x dx$.

В стандартных контрольных работах обычно применяются свойства №3 и №4, вот на них мы и остановимся поподробнее.

Пример №3

Найти $\int 3 e^x dx$.

Используем свойство №3 и вынесем константу, т.е. число $3$, за знак инеграла: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Теперь откроем таблицу интегралов и подставив в формулу №4 $u=x$ получим: $\int e^x dx=e^x+C$. Отсюда следует, что $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Предполагаю, что тут сразу возникнет вопрос у читателя, поэтому сформулирую этот вопрос отдельно:

Вопрос №4

Если $\int e^x dx=e^x+C$, то $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right)=3e^x+3C$! Почему вместо $3e^x+3C$ записали просто $3e^x+C$?

Вопрос совершенно разумен. Дело в том, что интегральную константу (т.е. то самое число $C$) можно представлять в виде любого выражения: главное, чтобы это выражение "пробегало" все множество действительных чисел, т.е. изменялось в пределах от $-\infty$ до $+\infty$. Например, если $-\infty≤ C ≤ +\infty$, то $-\infty≤ \frac{C}{3} ≤ +\infty$, поэтому константа $C$ представима в форме $\frac{C}{3}$. Можно записать, что $\int e^x dx=e^x+\frac{C}{3}$ и тогда $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+\frac{C}{3}\right)=3e^x+C$. Как видите, никакого противоречия здесь нет, но нужно соблюдать осторожность при изменении формы интегральной константы. Например, если представить константу $C$ в виде $C^2$, это будет ошибкой. Дело в том, что $C^2 ≥ 0$, т.е. $C^2$ не изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, не "пробегает" все действительные числа. Точно так же будет ошибкой представлять константу в виде $\sin C$, потому что $-1≤ \sin C ≤ 1$, т.е. $\sin C$ не "пробегает" всех значений действительной оси. В дальнейшем этот вопрос оговаривать особо не будем, а станем просто писать константу $C$ для каждого неопределённого интеграла.

Пример №4

Найти $\int\left(4\sin x-\frac{17}{x^2+9}-8x^3 \right)dx$.

Используем свойство №4:

$$\int\left(4\sin x-\frac{17}{x^2+9}-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac{17}{x^2+9}dx-\int8x^3dx$$

Теперь вынесем константы (числа) за знаки интегралов:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac{17}{x^2+9}dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac{dx}{x^2+9}-8\int x^3dx$$

Далее поработаем с каждым полученным интегралом по отдельности. Первый интеграл, т.е. $\int \sin x dx$, легко отыскать в таблице интегралов под №5. Подставляя в формулу №5 $u=x$ получим: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Для нахождения второго интеграла $\int\frac{dx}{x^2+9}$ нужно применить формулу №11 из таблицы интегралов. Подставляя в неё $u=x$ и $a=3$ получим: $\int\frac{dx}{x^2+9}=\frac{1}{3}\cdot \arctg\frac{x}{3}+C$.

И, наконец, для нахождения $\int x^3dx$ используем формулу №1 из таблицы, подставив в неё $u=x$ и $\alpha=3$: $\int x^3dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{x^4}{4}+C$.

Все интегралы, входящие в выражение $4\int \sin x dx-17\int\frac{dx}{x^2+9}-8\int x^3dx$, найдены. Осталось лишь подставить их:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac{dx}{x^2+9}-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac{1}{3}\cdot\arctg\frac{x}{3}-8\cdot\frac{x^4}{4}+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac{17}{3}\cdot\arctg\frac{x}{3}-2\cdot x^4+C.$$

Задача решена, ответ таков: $\int\left(4\sin x-\frac{17}{x^2+9}-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\frac{17}{3}\cdot\arctg\frac{x}{3}-2\cdot x^4+C$. Добавлю всё же одно маленькое примечание к этой задаче:

Совсем маленькое примечание

Возможно, эта вставка никому не понадобится, но всё-таки упомяну, что $\frac{1}{x^2+9}\cdot dx=\frac{dx}{x^2+9}$. Т.е. $\int\frac{17}{x^2+9}dx=17\cdot\int\frac{1}{x^2+9}dx=17\cdot\int\frac{dx}{x^2+9}$.

Разберём пример, в котором используем формулу №1 из таблицы интегралов для интерирования иррациональностей (корней, проще говоря).

Пример №5

Найти $\int\left(5\cdot\sqrt{x^4}-\frac{14}{\sqrt{x^6}}\right)dx$.

Для начала проделаем те же действия, что и в примере №3, а именно: разложим интеграл на два и вынесем константы за знаки интегралов:

$$\int\left(5\cdot\sqrt{x^4}-\frac{14}{\sqrt{x^6}} \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt{x^4} \right)dx-\int\frac{14}{\sqrt{x^6}} dx=\\ =5\cdot\int\sqrt{x^4} dx-14\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{x^6}} $$

Так как $\sqrt{x^4}=x^{\frac{4}{7}}$, то $\int\sqrt{x^4} dx=\int x^{\frac{4}{7}}dx$. Для нахождения данного интеграла применим формулу №1, подставив в нее $u=x$ и $\alpha=\frac{4}{7}$: $\int x^{\frac{4}{7}}dx=\frac{x^{\frac{4}{7}+1}}{\frac{4}{7}+1}+C=\frac{x^{\frac{11}{7}}}{\frac{11}{7}}+C=\frac{7\cdot\sqrt{x^{11}}}{11}+C$. При желании можно представить $\sqrt{x^{11}}$ как $x\cdot\sqrt{x^{4}}$, но это не обязательно.

Обратимся теперь к второму интегралу, т.е. $\int\frac{dx}{\sqrt{x^6}}$. Так как $\frac{1}{\sqrt{x^6}}=\frac{1}{x^{\frac{6}{11}}}=x^{-\frac{6}{11}}$, то рассматриваемый интеграл можно представить в такой форме: $\int\frac{dx}{\sqrt{x^6}}=\int x^{-\frac{6}{11}}dx$. Для нахождения полученного интеграла применим формулу №1 из таблицы интегралов, подставив в неё $u=x$ и $\alpha=-\frac{6}{11}$: $\int x^{-\frac{6}{11}}dx=\frac{x^{-\frac{6}{11}+1}}{-\frac{6}{11}+1}+C=\frac{x^{\frac{5}{11}}}{\frac{5}{11}}+C=\frac{11\cdot\sqrt{x^{5}}}{5}+C$.

Подставляя полученные результаты, получим ответ:

$$5\cdot\int\sqrt{x^4} dx-14\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{x^6}}= 5\cdot\frac{7\cdot\sqrt{x^{11}}}{11}-14\cdot\frac{11\cdot\sqrt{x^{5}}}{5}+C= \frac{35\cdot\sqrt{x^{11}}}{11}-\frac{154\cdot\sqrt{x^{5}}}{5}+C. $$

Ответ : $\int\left(5\cdot\sqrt{x^4}-\frac{14}{\sqrt{x^6}}\right)dx=\frac{35\cdot\sqrt{x^{11}}}{11}-\frac{154\cdot\sqrt{x^{5}}}{5}+C$.

И, наконец, возьмём интеграл, подпадающий под формулу №9 таблицы интегралов. Пример №6, к которому мы сейчас перейдём, можно бы решить и иным способом, но об этом пойдёт речь в последующих темах. Пока что будем оставаться в рамках применения таблицы.

Пример №6

Найти $\int\frac{12}{\sqrt{15-7x^2}}dx$.

Для начала проделаем ту же операцию, что и ранее: вынесение константы (числа $12$) за знак интеграла:

$$ \int\frac{12}{\sqrt{15-7x^2}}dx=12\cdot\int\frac{1}{\sqrt{15-7x^2}}dx=12\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{15-7x^2}} $$

Полученный интеграл $\int\frac{dx}{\sqrt{15-7x^2}}$ уже близок к табличному $\int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}$ (формула №9 таблицы интегралов). Отличие нашего интеграла в том, что перед $x^2$ под корнем стоит коэффициент $7$, которого табличный интеграл не допускает. Следовательно, нужно избавиться от этой семёрки, вынеся её за знак корня:

$$ 12\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{15-7x^2}}=12\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{7\cdot\left(\frac{15}{7}-x^2\right)}}= 12\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{\frac{15}{7}-x^2}}=\frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{\frac{15}{7}-x^2}} $$

Если сравнить табличный интеграл $\int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}$ и $\int\frac{dx}{\sqrt{\frac{15}{7}-x^2}}$ становится видно, что они имеют одинаковую структуру. Только в интеграле $\int\frac{dx}{\sqrt{\frac{15}{7}-x^2}}$ вместо $u$ стоит $x$, а вместо $a^2$ стоит $\frac{15}{7}$. Что ж, если $a^2=\frac{15}{7}$, то $a=\sqrt{\frac{15}{7}}$. Подставляя $u=x$ и $a=\sqrt{\frac{15}{7}}$ в формулу $\int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=\arcsin\frac{u}{a}+C$, получим такой результат:

$$ \frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{\frac{15}{7}-x^2}}= \frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\arcsin\frac{x}{\sqrt{\frac{15}{7}}}+C $$

Если учесть, что $\sqrt{\frac{15}{7}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}}$, то результат можно переписать без "трёхэтажных" дробей:

$$ \frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\arcsin\frac{x}{\sqrt{\frac{15}{7}}}+C=\frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\arcsin\frac{x}{\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}}}+C= \frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\arcsin\frac{\sqrt{7}\;x}{\sqrt{15}}+C $$

Задача решена, ответ получен.

Ответ : $\int\frac{12}{\sqrt{15-7x^2}}dx=\frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\arcsin\frac{\sqrt{7}\;x}{\sqrt{15}}+C$.

Пример №7

Найти $\int\tg^2xdx$.

Для интегрирования тригонометрических функций есть свои методы. Однако в данном случае можно обойтись знанием простых тригонометрических формул. Так как $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$, то $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}$. Учитывая $\sin^2x=1-\cos^2x$, получим:

$$ \frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}-\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}-1 $$

Таким образом, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx$. Раскладывая полученный интеграл на сумму интегралов и применяя табличные формулы, будем иметь:

$$ \int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}-\int 1dx=\tg x-x+C. $$

Ответ : $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

1. Интегральное исчисление функций одной переменной

2. Первообразная и неопределенный интеграл.

3. Свойства неопределенного интеграла.

4. Таблица интегралов

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача − по дан-ной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи − для данной функ-ции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx .

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором промежутке (a, b), если на этом промежутке фун-к-ция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F ′(x) = f(x)

или, что то же самое, соотношению

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция sin 5x - первообразная на любом промежутке по отношению к функции f (x ) = 5cos5x , так как (sin5x )′ = 5cos5x .

Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве. В самом деле, если F(x) - первообразная от функции f(x) , то

Ф(x) = F(x) + C ,

где С - любая постоянная, также первообразная, так как

Ф ′(х ) = (F (x ) + C )′ = F ′(x ) + 0 = f (x ).

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

Теорема 1 (о первообразных). Если F (x ) − какая-нибудь первообразная от функции f (x ) на интервале (a, b ), то все ее первообразные имеют вид F (x ) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что гра-фик любой первообразной функции получается из графика функции y = F (x ) простым сдвигом его параллельно оси Оу на величину С (см. рисунок). В связи с тем, что одна и та же функция f (x ) имеет бесконечно много первообразных, возникает проб-лема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

Известно, что производная от пути по времени равна скорости точки: S ′(t ) = V (t ), поэтому, если известен закон изменения скорости V(t) , путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S (t ) = F (t ) + C .

Для нахождения закона изменения пути S(t) нужно использовать началь-ные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S0 при t = t0 . Пусть при t = t0 имеем S = S0 . Тогда

S(t 0 ) = S 0 = F(t 0 ) + C. С = S 0 - F(t 0 ) и S(t) = F(t) + S 0 - F(t 0 ).

Определение 2. Если F(x) - некоторая первообразная от функции f(x), то выражение F(x) + C, где С - произвольная постоянная, называется неопреде-ленным интегралом и обозначается

∫f (x )dx = F (x ) + C ,

т. е. неопределенный интеграл от функции f(x) есть множество всех её перво-образных.

При этом функция f(x) называется подынтегральной , а произведение f(x)dx - подынтегральным выражением ; F(x) - одна из первообразных; х - пе-ременная интегрирования . Процесс отыскания первообразной называется интегрированием.

П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы:

Теорема 2 (существование неопределенного интеграла). Если функция f(х) непрерывна на (a, b) , то существует первообразная, а значит, и интеграл ∫f (x )dx.

Свойства неопределенных интегралов:

1. (∫f (x )dx )′ = f (x ) , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d (∫f (x )dx ) = f (x )dx , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫dF (x ) = F (x ) + C .

4. ∫(C 1 f 1(x ) + C 2 f 2 (x ))dx = C 1∫f 1(x )dx + C 2∫f 2(x )dx − свойство линей-ности ; С1, С2 - постоянные.

5. Если ∫f (x )dx = F (x ) + C , то

Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интег-рала. Свойств 4 и 5 получаем дифференцированием левых и правых частей уравнений по х , используя свойство 1 интегралов и свойства производных.

П р и м е р 2 . Найти неопределенный интеграл: а) ∫(e x + cos5x )dx .

Решение. Используя свойства 4 и 5, находим:

Приведем таблицу основных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.

Основные методы интегрирования

Существует три основных метода интегрирования .

1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с по-мощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

П р и м е р 3 . Вычислить интеграл: ∫tg 2 xdx.

2. Метод подстановки . Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахож-де-нию табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной .

Теорема 3. Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и диффе-ренцируема на некотором промежутке Т и пусть Х - множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫f(x)dx = F(x) + C , то

∫f(x)dx =∫f(φ(t)) φ ′(t)dt . (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла ∫f(φ(t)) φ ′(t)dt нужно пе-рей-ти назад к переменной х.

П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos 3 x sinxdx.

а) Заменим sinxdx на (−d cos x ), т. е. внесем функцию cos x под знак диф-ференциала. Получим

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируе-мы на некотором промежутке Х и пусть u ′(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл ∫u ′(x )v (x )dx.

Тогда на этом промежут-ке имеет первообразную и функция u(x)v ′(x) и справедлива формула:

∫u (x )v ′(x )dx = u (x )v (x ) −∫v (x )u ′(x )dx (2)

∫udv = uv −∫vdu . (2′)

Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следую-щих функций: P (x )arcsin(ax ), P (x )arccos(ax ), P (x )arctg(ax ), P (x )arcctg(ax ), P (x )ln x , P (x )e kx , P (x )sin kx , P (x )cos kx , здесь P(x) - многочлен; e ax cosbx , e ax sin bx .

Конечно, эти функции не исчерпывают всех интегралов, которые вычи-сляются с помощью метода интегрирования по частям.

П р и м е р 6. Найти интеграл: ∫arctg 3xdx .

Решение. Положим u = arctg 3x ; dv = dx . Тогда

По формуле (2) имеем

Поскольку сейчас речь пойдет только о неопределенном интеграле, то для сокращения термин «неопределенный» будем опускать.

Для того чтобы научиться вычислять интегралы (или, как говорят, интегрировать функции), нужно, прежде всего, выучить таблицу интегралов:

Таблица1. Таблица интегралов

2. ( ), u >0. 2a. (α=0); 2б. (α=1); 2в. (α=). 3. 3а. 4. 5. 5а) 6а. 7. 7а.

8. 9. 10. 10а. 11. 11а. 12. 13. 13а.

Кроме того, потребуется умение вычислять производную от заданной функции, а значит, нужно вспомнить правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций:

Таблица 2. Таблица производных и правила дифференцирования:

6.а.

(sin и ) = cos и  и  (cos u ) = – sin и  и 

А еще нам потребуется умение находить дифференциал функции. Напомним, что дифференциал функции
находят по формуле
, т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал её аргумента . Полезно держать в памяти и следующие известные соотношения:

Таблица 3. Таблица дифференциалов

1. (b = Const ) 2. ( ) 3. 4. 5. (b = Const ) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Причем использовать эти формулы можно, как читая их слева направо, так и справа налево.

Рассмотрим последовательно три основных приема вычисления интеграла. Первый из них называют методом непосредственного интегрирования. Оноснован на использовании свойств неопределенного интеграла, включает два основных приема: разложение интеграла на алгебраическую сумму более простых и подведение под знак дифференциала , причем эти приемы могут быть использованы как самостоятельно, так и в совокупности.

А) Рассмотрим разложение на алгебраическую сумму – этот прием предполагает использование тождественных преобразований подынтегральной функции и свойств линейности неопределенного интеграла:
и .

Пример 1. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:

Здесь использовано свойство степеней:
.

б) Сначала преобразуем числитель дроби, затем разделим почленно числитель на знаменатель:

Здесь также использовано свойство степеней:
.

Здесь использовано свойство:
,
.

.

Здесь использованы формулы 2 и 5 таблицы 1.

Пример 2. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическое тождество :

.

Здесь вновь использовано почленное деление числителя на знаменатель и формулы 8 и 9 таблицы 1.

б) Аналогично преобразуем, используя тождество
:

.

в) Сначала разделим почленно числитель на знаменатель и вынесем за знак интеграла константы, затем используем тригонометрическое тождество
:

г) Применим формулу понижения степени:

,

д) Используя тригонометрические тождества, преобразуем:

Б) Рассмотрим прием интегрирования, который называют подведением под знак дифференциала . В основе этого приема лежит свойство инвариантности неопределенного интеграла:

если
, то для любой дифференцируемой функции и = и (х ) имеет место:
.

Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства формулы таблицы 1 справедливы не только для независимой переменной и , но и в случае, когда и – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.

Например,
, но и
, и
, и
.

Или
и
, и
.

Суть метода заключается в выделении в заданном подынтегральном выражении дифференциала некоторой функции так, чтобы этот выделенный дифференциал вместе с остальным выражением составляли табличную формула относительно этой функции. В случае необходимости при таком преобразовании можно соответствующим образом добавлять константы. Например:

(в последнем примере записано ln(3 + x 2) вместо ln|3 + x 2 | , так как выражение 3 + x 2 всегда положительно).

Пример 3. Найти интегралы:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
;

ж)
; з)
.

Решение.

а) .

Здесь использованы формулы 2а, 5а и 7а таблицы 1, две последние из которых получены как раз путем подведения под знак дифференциала:

Интегрировать функции вида
приходится очень часто в рамках вычисления интегралов от более сложных функция. Чтобы каждый раз не повторять описанные выше действия, рекомендуем запомнить соответствующие формулы, приведённые в таблице 1.

.

Здесь использована формула 3 таблицы 1.

в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:

.

Здесь использована формула 2в таблицы 1.

г)

.

д) ;

е)

.

ж) ;

з)

.

Пример 4. Найти интегралы:

а)
б)

в)
.

Решение.

а) Преобразуем:

Здесь так же использована формула 3 таблицы 1.

б) Используем формулу понижения степени
:

Здесь использованы формулы 2а и 7а таблицы 1.

Здесь наряду с формулами 2 и 8 таблицы 1 использованы и формулы таблицы 3:
,
.

Пример 5. Найти интегралы:

а)
; б)

в)
; г)
.

Решение.

а) Произведение
можно дополнить (см. формулы 4 и 5 таблицы 3) до дифференциала функции
, где а и b – любые константы,
. Действительно, , откуда
.

Тогда имеем:

.

б) Используя формулу 6 таблицы 3, имеем
, а также
, значит, присутствие в подынтегральном выражении произведения
означает подсказку: под знак дифференциала нужно внести выражение
. Поэтому получаем

в) Так же как в пункте б), произведение
можно дополнить до дифференциала функции
. Тогда получим:

.

г) Сначала воспользуемся свойствами линейности интеграла:

Пример 6. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Решение.

а) Учитывая, что
(формула 9 таблицы 3), преобразуем:

б) Используя формулу 12 таблицы 3, получим

в) Учитывая формулу 11 таблицы 3, преобразуем

г) Используя формулу 16 таблицы 3, получим:

.

Пример 7. Найти интегралы:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Решение.

а) Все представленные в этом примере интегралы имеют общую особенность : подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен. Поэтому и способ вычисления этих интегралов будет основан на одном и том же преобразовании – выделении полного квадрата в этом квадратном трехчлене.

.

б)

.

в)

г)

Прием подведения под знак дифференциала является устной реализацией более общего приема вычисления интеграла, называемого методом подстановки или заменой переменной. Действительно, каждый раз, подбирая подходящую формулу таблицы 1 к полученной в результате подведения под знак дифференциала функции, мы мысленно заменяли буквой и функцию, внесенную под знак дифференциала. Поэтому, если интегрирование путем подведения под знак дифференциала не очень получается, можно непосредственно делать замену переменной. Подробнее об этом – в следующем пункте.