Центральные оси инерции. Оси инерции. Главные оси инерции и главные моменты инерции

Если какое-либо тело привести во вращение относительно произвольной оси и затем предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменится: ось будет либо поворачиваться, либо перемещаться относительно инерциальной системы отсчета. Для того, чтобы произвольно взятую ось удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы.

Ось вращения тела, положение которой в пространстве сохраняется без приложения извне каких-либо сил, называется свободной осью тела.

Можно показать, что существуют по крайне мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Такие оси называются главными осями инерции тела.

Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции .

Для тел, обладающих осевой симметрией (например, у однородного цилиндра), одна из главных осей совпадает с осью симметрии, а две любые оси, перпендикулярные к оси симметрии и друг другу и проходящие через центр масс тела, также являются главными (рис. 7.15). Моменты инерции относительно двух последних осей равны друг другу, а момент инерции относительно оси симметрии отличен от них

Такое тело называется симметричным волчком.

Рис. 7.15. Главные оси однородного цилиндра

У тела с центральной симметрией (например, у однородного шара) любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр симметрии, являются главными. Для них

Такие тела называются шаровыми волчками . Любая ось шарового волчка, проходящая через центр симметрии, является главной (а, значит, и свободной).

В общем случае главные моменты инерции тела различны, то есть

Такое тело называется асимметричным волчком . Примером асимметричного волчка может служить однородный прямоугольный параллелепипед (рис. 7.16).

Рис. 7.16. Главные оси однородного параллелепипеда

При «почти» свободном вращении на тело могут действовать малые возмущения. Если при таких возмущениях ось вращения мало изменяет свое положение, то вращение называется устойчивым . В противном случае говорят о неустойчивом вращении.

Пусть для асимметричного волчка для определенности имеет место следующее соотношение между главными моментами инерции:

Можно показать, что вращение вокруг осей 1 и 3 (то есть осей с максимальными и минимальными моментами инерции) будет устойчивым, а вокруг оси 2 (с промежуточным по величине моментом инерции) - неустойчивым.

Видео 7.4. Устойчивость полета в воздухе прямоугольного параллелепипеда

Пусть тело вращается вокруг одной из главных осей, например, вокруг оси z. Тогда вектор угловой скорости имеет вид

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

При изменении угла величины Ix1, Iy1 и Ix1y1 изменяются. Найдем значение угла, при котором Ix1 и Iy1имеют экстремальные значения; для этого возьмем от Ix1 или Iy1 первую производную по и преравняем ее нулю:илиоткуда(1.28)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой - минемален.

Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (1.23) и (1.24), подставив в них из формулы (1.28), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов.

После преобразований получим следующую формулу для определения главных моментов инерции: (1.29)

Исследуя вторую производную можно установить, что для данного случая (Ix < Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Сказанное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

В случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, то у этого сечения любая центральная ось является главной, и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний шестиугольник).

9.Основные геометрические характеристики сечений

Здесь: C - центр тяжести плоских сечений;

A - площадь сечения;

I x , I y - осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;

I xI , I yI - осевые моменты инерции относительно вспомогательных осей;

I p - полярный момент инерции сечения;

W x , W y - осевые моменты сопротивления;

W p - полярный момент сопротивления

Прямоугольное сечение

Сечение равнобедренный треугольник

10.Основные виды сил, действующие на тело. Момент силы относительно центра. Свойства момента сил.

При рас­смот­ре­нии ме­ха­ни­че­ских задач боль­шин­ство сил, дей­ству­ю­щих на тела, можно от­не­сти к трем ос­нов­ным раз­но­вид­но­стям:

Сила все­мир­но­го тя­го­те­ния;

Сила тре­ния;

Сила упру­го­сти.

Все окру­жа­ю­щие нас тела при­тя­ги­ва­ют­ся к Земле, это обу­слов­ле­но дей­стви­ем сил все­мир­но­го тя­го­те­ния. Если мы будем пре­не­бре­гать со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха, то мы уже знаем, что все тела па­да­ют на Землю с оди­на­ко­вым уско­ре­ни­ем – уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния.

Как и вся­кий пред­мет, тело, под­ве­шен­ное на пру­жине, стре­мит­ся упасть вниз из-за при­тя­же­ния Земли, но, когда пру­жи­на рас­тя­нет­ся до неко­то­рой длины, тело оста­нав­ли­ва­ет­ся, то есть при­хо­дит в со­сто­я­ние ме­ха­ни­че­ско­го рав­но­ве­сия. Мы уже знаем, что ме­ха­ни­че­ское рав­но­ве­сие на­сту­па­ет, когда сумма сил, дей­ству­ю­щих на тело, равна нулю. Это озна­ча­ет, что сила тя­же­сти, дей­ству­ю­щая на груз, долж­на урав­но­ве­сить­ся с неко­то­рой силой, дей­ству­ю­щей со сто­ро­ны пру­жи­ны. Эта сила, на­прав­лен­ная про­тив силы тя­же­сти и дей­ству­ю­щая со сто­ро­ны пру­жи­ны, на­зы­ва­ет­ся силой упру­го­сти.

Прой­дя неко­то­рое рас­сто­я­ние, тело оста­нав­ли­ва­ет­ся, ско­рость тела умень­ша­ет­ся от на­чаль­но­го зна­че­ния до нуля, то есть уско­ре­ние тела – ве­ли­чи­на от­ри­ца­тель­ная. Сле­до­ва­тель­но, на тело со сто­ро­ны по­верх­но­сти дей­ству­ет сила, ко­то­рая стре­мит­ся оста­но­вить это тело, то есть дей­ству­ет про­тив его ско­ро­сти. Эта сила на­зы­ва­ет­ся силой тре­ния.

Момент силы относительно центра (точки).

Моментом силы F относительно центра (точки) О называется вектор m o (F) равный векторному произведению радиуса вектора r , проведенного из центра О в точку А приложения силы, на вектор силы F :

где плечо h  перпендикуляр, опущенный из центра О на линию действия силы F.

Момент m o (F) характеризует вращательный эффект силы F относительно центра (точки) О .

Свойства момента силы:

1. Момент силы относительно центра не изменяется при переносе силы вдоль линии ее действия в любую точку;

2. Если линия действия силы проходит через центр О (h = 0), то момент силы относительно центра О равен нулю .

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш.сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия ..1983 .

ОСИ ИНЕРЦИИ

Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1988 .

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у (см. рис. 32, а) называются определенные интегралы вида

При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой сечения - центробежным моментом инерции.

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х у (см. рис. 32, а)

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат О (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида

где р - расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент в зависимости от выбора осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Единицы обозначения моментов инерции - см 4 , мм 4 .

Между полярным и осевыми моментами инерции существует следующая зависимость:

Согласно формуле (41) сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат).

Моменты инерции сечений относительно параллельных осей, одни из которых являются центральными (х с,ус)> определяются из выражений:

где а ив- координаты центра тяжести С сечения (рис. 34).

Формулы (42), имеющие большое практическое применение, читаются так: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Обратите внимание : координаты а и в следует подставлять в приведенные выше формулы (42) с учетом их знаков.

Рис. 34.

Из формул (42) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент будет относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. центральный момент инерции.

В формулы для определения прочности и жесткости конструкции входят моменты инерции, которые вычисляются относительно осей, являющихся не только центральными, но и главными. Для того чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.

Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 35) имеют следующий вид:

где а - угол поворота осей и и v относительно осей хну соответственно. Угол а считается положительным , если поворот осей и и у происходит против часовой стрелки.

Рис. 35.

Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:

При повороте осей вокруг начала координат центробежный момент инерции меняется непрерывно , следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю.

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называются главными осями инерции.

Направление главных осей инерции можно определить так:

Полученные из формулы (43) два значения угла а отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как видим, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает л /4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой и. На рис. 36 приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами хи у.

Рис. 36.

В задачах изгиба важно знать осевые моменты инерции сечений относительно тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть эти оси просто главными осями , опуская слово «центральные».

Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения, вторая ось ей перпендикулярна. Другими словами, ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести такого сечения, являются его главными центральными осями инерции. Так, на рис. 37 представлены некоторые типы сечений (круг, кольцо, квадрат, правильный шестиугольник и др.), обладающие следующим свойством: любая ось, проходящая через их центр тяжести, является главной.

Рис. 37.

Следует отметить, что нецентральные главные оси интереса для нас не представляют.

В теории изгиба наибольшее значение имеют моменты инерции относительно главных центральных осей.

Главными центральными моментами инерции или главными моментами инерции называются моменты инерции относительно главных центральных осей. Причем относительно одной из главных осей момент инерции максимален , относительно другой - минимален :

Осевые моменты инерции сечений, изображенных на рис. 37, вычисленные относительно главных центральных осей, равны между собой: J y , тогда: J u = J x cos 2 a +J y sin а = J x .

Моменты инерции сложного сечения равны сумме моментов инерции его частей. Поэтому для определения моментов инерции сложного сечения можно записать:

гдeJ xi , J y „ J xiyi -моменты инерции отдельных частей сечения.

NB: если сечение имеет отверстие, то его удобно считать участком с отрицательной площадью.

Для выполнения в дальнейшем прочностных расчетов введем новую геометрическую характеристику прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Эту геометрическую характеристику называют осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.

Отношение момента инерции сечения относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления:

Момент сопротивления имеет размерность мм 3 , см 3 .

Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее распространенных простых сечений определяются по формулам, приведенным в табл. 3.

Для прокатных стальных балок (двутавровых, швеллерных, уголковых и др.) моменты инерции и моменты сопротивлений приводятся в таблицах сортамента прокатных сталей, где помимо размеров даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей х и у - i x и i y соответственно, которые определяются по следующим формулам.

Задание 5.3.1: Для сечения известны осевые моменты инерции сечения относительно осей х1, у1, х2 : , . Осевой момент инерции относительно оси у2 равен…

1) 1000 см4; 2) 2000 см4; 3) 2500 см4; 4) 3000 см4.

Решение: Верный ответ - 3). Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей на некоторый угол остается постоянной, то есть

После подстановки заданных значений получим.

Задание 5.3.2: Из указанных центральных осей сечения равнополочного уголка главными являются…

1) х3 ; 2) все; 3) х1 ; 4) х2 .

Решение: Верный ответ - 4). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.3: Главные оси инерции …

• 1) можно провести только через точки, лежащие на оси симметрии;
• 2) можно провести только через центр тяжести плоской фигуры;
• 3) это оси, относительно которых моменты инерции плоской фигуры равны нулю;
• 4) можно провести через любую точку плоской фигуры.

Решение: Верный ответ - 4). На рисунке показана произвольная плоская фигура. Через точку С проведены две взаимно перпендикулярные оси U и V .

В курсе сопротивления материалов доказывается, что если эти оси поворачивать, то можно определить такое их положение, при котором центробежный момент инерции площади обращается в ноль, а моменты инерции относительно этих осей принимают экстремальные значения. Такие оси называются главными осями.

Задание 5.3.4: Из указанных центральных осей главными осями сечения являются…

1) все; 2) х1 и х3 ; 3) х2 и х3 ; 4) х2 и х4 .

Решение: Верный ответ - 1). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.5: Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются…

• 1) центральными осями; 2) осями симметрии;
• 3) главными центральными осями; 4) главными осями.

Решение: Верный ответ - 4). При повороте осей координат на угол б моменты инерции сечения меняются.

Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных осей x , y . Тогда моменты инерции сечения в системе координатных осей u , v , повернутых на некоторый угол относительно осей x , y , равны

При некотором значении угла центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Данные оси называются главными осями.

Задание 5.3.6: Момент инерции сечения относительно главной центральной оси хС равен…

1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 2)

Для вычисления используем формулу