यादृच्छिक मूल्य एक्सइसका एक सामान्य वितरण (या गाऊसी वितरण) है यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:
,
पैरामीटर कहां हैं ए- कोई भी वास्तविक संख्या और σ >0.
विभेदक सामान्य वितरण फलन के ग्राफ को सामान्य वक्र (गाऊसी वक्र) कहा जाता है। सामान्य वक्र (चित्र 2.12) सीधी रेखा के प्रति सममित है एक्स =ए, अधिकतम कोटि है, और बिंदुओं पर एक्स = ए± σ – विभक्ति.

चावल। 2.12
यह सिद्ध हो चुका है कि पैरामीटर एगणितीय अपेक्षा है (मोड और माध्यिका भी), और σ मानक विचलन है। सामान्य वितरण के लिए तिरछापन और कर्टोसिस के गुणांक शून्य के बराबर हैं: जैसा = पूर्व = 0.
आइए अब स्थापित करें कि पैरामीटर बदलने से क्या प्रभाव पड़ता है एऔर σ एक सामान्य वक्र की तरह दिखता है। पैरामीटर बदलते समय एसामान्य वक्र का आकार नहीं बदलता है। इस मामले में, यदि गणितीय अपेक्षा (पैरामीटर) ए) घटने या बढ़ने पर सामान्य वक्र का ग्राफ बायीं या दायीं ओर खिसक जाता है (चित्र 2.13)।
जब पैरामीटर σ बदलता है, तो सामान्य वक्र का आकार बदल जाता है। यदि यह पैरामीटर बढ़ता है, तो फ़ंक्शन का अधिकतम मान घट जाता है, और इसके विपरीत। चूंकि क्षेत्र वितरण वक्र और अक्ष द्वारा सीमित है ओह, स्थिर और 1 के बराबर होना चाहिए, फिर पैरामीटर σ बढ़ने के साथ वक्र अक्ष के पास पहुंचता है ओहऔर इसके साथ-साथ खिंचता है, और σ में कमी के साथ वक्र एक सीधी रेखा में सिकुड़ जाता है एक्स = ए(चित्र 2.14)।

चावल। 2.13 चित्र. 2.14
सामान्य वितरण घनत्व फ़ंक्शन φ( एक्स) मापदंडों के साथ ए= 0, σ = 1 कहा जाता है मानक सामान्य यादृच्छिक चर का घनत्व , और इसका ग्राफ़ एक मानक गाऊसी वक्र है।
सामान्य मानक मान का घनत्व फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है, और इसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 2.15.
गणितीय अपेक्षा और फैलाव के गुणों से यह पता चलता है कि मात्रा के लिए, डी(यू)=1, एम(यू) = 0. इसलिए, मानक सामान्य वक्र को यादृच्छिक चर का वितरण वक्र माना जा सकता है, जहां एक्स- मापदंडों के साथ सामान्य वितरण कानून के अधीन एक यादृच्छिक चर एऔर σ.
अभिन्न रूप में एक यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण नियम का रूप होता है
(2.10)
पूर्णांक (3.10) डालने पर हमें प्राप्त होता है
,
कहाँ । पहला पद 1/2 के बराबर है (चित्र 3.15 में दिखाए गए घुमावदार समलम्बाकार क्षेत्र का आधा)। दूसरी अवधि
(2.11)
बुलाया लाप्लास फ़ंक्शन , साथ ही संभाव्यता अभिन्न।
चूंकि सूत्र (2.11) में अभिन्न को प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया गया है, गणना की सुविधा के लिए इसे संकलित किया गया है जेड≥ 0 लाप्लास फ़ंक्शन तालिका। नकारात्मक मानों के लिए लाप्लास फ़ंक्शन की गणना करना जेड, लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता का लाभ उठाना आवश्यक है: Ф(- जेड) = – एफ( जेड). हमें अंततः गणना सूत्र मिल गया

इससे हम एक यादृच्छिक चर के लिए इसे प्राप्त करते हैं एक्स, सामान्य कानून का पालन करते हुए, खंड [α, β] पर इसके गिरने की संभावना है
(2.12)
सूत्र (2.12) का उपयोग करके, हम मात्रा के सामान्य वितरण के विचलन के मापांक की संभावना पाते हैं एक्सइसके वितरण केंद्र से ए 3σ से कम. हमारे पास है
पी(| एक्स – ए| < 3 s) =P(ए-3 एस< एक्स< ए+3 s)= Ф(3) – Ф(–3) = 2Ф(3) »0.9973.
Ф(3) का मान लाप्लास फ़ंक्शन तालिका से प्राप्त किया गया था।
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि एक घटना व्यावहारिक रूप से विश्वसनीय , यदि इसकी संभावना एक के करीब है, और व्यावहारिक रूप से असंभव है यदि इसकी संभावना शून्य के करीब है।
हमें तथाकथित मिला तीन सिग्मा नियम : सामान्य वितरण घटना के लिए (| एक्स–ए| < 3σ) практически достоверно.
तीन-सिग्मा नियम को अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: हालांकि सामान्य यादृच्छिक चर पूरे अक्ष के साथ वितरित किया जाता है एक्स, इसके व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा है(ए-3σ, ए+3σ).
सामान्य वितरण में कई गुण होते हैं जो इसे आंकड़ों में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले वितरणों में से एक बनाते हैं।
यदि एक निश्चित यादृच्छिक चर को अन्य यादृच्छिक चर की पर्याप्त बड़ी संख्या के योग के रूप में मानना ​​संभव है, तो यह यादृच्छिक चर आमतौर पर सामान्य वितरण कानून का पालन करता है। सारांशित यादृच्छिक चर किसी भी वितरण का पालन कर सकते हैं, लेकिन उनकी स्वतंत्रता (या कमजोर स्वतंत्रता) की शर्त पूरी होनी चाहिए। इसके अलावा, सारांशित यादृच्छिक चर में से कोई भी दूसरों से बिल्कुल अलग नहीं होना चाहिए, यानी। उनमें से प्रत्येक को कुल में लगभग समान भूमिका निभानी चाहिए और अन्य मात्राओं की तुलना में असाधारण रूप से बड़ा फैलाव नहीं होना चाहिए।
यह सामान्य वितरण की व्यापक व्यापकता की व्याख्या करता है। यह उन सभी घटनाओं और प्रक्रियाओं में होता है जहां अध्ययन किए जा रहे यादृच्छिक चर का प्रकीर्णन बड़ी संख्या में यादृच्छिक कारणों से होता है, जिनमें से प्रत्येक का प्रकीर्णन पर व्यक्तिगत रूप से प्रभाव नगण्य होता है।
व्यवहार में आने वाले अधिकांश यादृच्छिक चर (जैसे, उदाहरण के लिए, किसी निश्चित उत्पाद की बिक्री की संख्या, माप त्रुटि; सीमा या दिशा में लक्ष्य से प्रक्षेप्य का विचलन; मशीन पर संसाधित भागों के वास्तविक आयामों का विचलन) नाममात्र आयाम, आदि) को बड़ी संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है जिनका योग के फैलाव पर समान रूप से छोटा प्रभाव पड़ता है। ऐसे यादृच्छिक चर को सामान्य रूप से वितरित माना जाता है। ऐसी मात्राओं की सामान्यता के बारे में परिकल्पना को केंद्रीय सीमा प्रमेय में सैद्धांतिक औचित्य मिलता है और इसे कई व्यावहारिक पुष्टियाँ प्राप्त हुई हैं।
आइए कल्पना करें कि एक निश्चित उत्पाद कई खुदरा दुकानों में बेचा जाता है। विभिन्न कारकों के यादृच्छिक प्रभाव के कारण, प्रत्येक स्थान पर माल की बिक्री की संख्या थोड़ी भिन्न होगी, लेकिन सभी मूल्यों का औसत बिक्री की वास्तविक औसत संख्या के करीब होगा।
औसत से प्रत्येक आउटलेट पर बिक्री की संख्या का विचलन सामान्य वितरण वक्र के करीब एक सममित वितरण वक्र बनाता है। किसी भी कारक का कोई भी व्यवस्थित प्रभाव वितरण की विषमता में प्रकट होगा।
काम. यादृच्छिक चर को आम तौर पर मापदंडों के साथ वितरित किया जाता है ए= 8, σ = 3। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रयोग के परिणामस्वरूप यादृच्छिक चर अंतराल (12.5; 14) में निहित मान लेगा।
समाधान. आइए सूत्र (2.12) का उपयोग करें। हमारे पास है

काम. एक निश्चित प्रकार की प्रति सप्ताह बेची जाने वाली वस्तुओं की संख्या एक्ससामान्य रूप से वितरित माना जा सकता है। बिक्री की संख्या की गणितीय अपेक्षा हजार टुकड़े इस यादृच्छिक चर का मानक विचलन σ = 0.8 हजार पीसी है। एक सप्ताह में 15 से 17 हजार यूनिट बिकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। चीज़ें।
समाधान।यादृच्छिक मूल्य एक्समापदंडों के साथ सामान्य रूप से वितरित ए= एम( एक्स) = 15.7; σ = 0.8. आपको असमानता की संभावना 15 ≤ की गणना करने की आवश्यकता है एक्स≤ 17. सूत्र (2.12) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

अध्याय 6. सतत यादृच्छिक चर।

§ 1. एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व और वितरण कार्य।

सतत यादृच्छिक चर के मानों का समुच्चय बेशुमार होता है और आमतौर पर कुछ परिमित या अनंत अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है।

संभाव्यता स्थान (W, S, P) में परिभाषित एक यादृच्छिक चर x(w) को कहा जाता है निरंतर(बिल्कुल निरंतर) डब्ल्यू, यदि कोई गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है जैसे कि किसी भी एक्स के लिए वितरण फ़ंक्शन एफएक्स (एक्स) को एक अभिन्न अंग के रूप में दर्शाया जा सकता है

फ़ंक्शन को फ़ंक्शन कहा जाता है संभाव्यता वितरण घनत्व.

परिभाषा से पता चलता है कि वितरण घनत्व फ़ंक्शन के गुण:

1..gif" width=”97″ ऊंचाई=”51″>

3. निरंतरता के बिंदुओं पर, वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:।

4. वितरण घनत्व एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्धारित करता है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना निर्धारित करता है:

5. एक सतत यादृच्छिक चर के एक विशिष्ट मान लेने की प्रायिकता शून्य है: . इसलिए, निम्नलिखित समानताएँ मान्य हैं:

वितरण घनत्व फलन का ग्राफ कहलाता है वितरण वक्र, और वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र एकता के बराबर है। फिर, ज्यामितीय रूप से, बिंदु x0 पर वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का मान वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र है और बिंदु x0 के बाईं ओर स्थित है।

कार्य 1।एक सतत यादृच्छिक चर के घनत्व फ़ंक्शन का रूप है:

स्थिरांक C निर्धारित करें, वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करें और संभाव्यता की गणना करें।

समाधान।स्थिरांक C हमारे पास मौजूद स्थिति से पाया जाता है:

जहां से C=3/8.

वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करने के लिए, ध्यान दें कि अंतराल तर्क x (संख्यात्मक अक्ष) के मानों की सीमा को तीन भागों में विभाजित करता है: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" चौड़ाई = "264" ऊँचाई = "49">

चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व x शून्य है। दूसरे मामले में

अंततः, अंतिम स्थिति में, जब x>2,

चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व लुप्त हो जाता है। तो, वितरण फलन प्राप्त होता है

संभावना आइए सूत्र का उपयोग करके गणना करें। इस प्रकार,

§ 2. एक सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ

अपेक्षित मूल्यलगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width='205' ऊंचाई='56 src='> द्वारा निर्धारित किया जाता है,

यदि दाहिनी ओर का अभिन्न अंग पूर्णतया अभिसरण करता है।

फैलाव x की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है , और साथ ही, अलग मामले में, सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" ऊंचाई="49 src="> के अनुसार।

असतत यादृच्छिक चर के लिए अध्याय 5 में दिए गए गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य हैं।

समस्या 2. समस्या 1 से यादृच्छिक चर x के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें .

समाधान।

और उसका अर्थ यह निकलता है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width=”184” ऊंचाई=”69 src=”>

एक समान वितरण घनत्व ग्राफ़ के लिए, चित्र देखें। .

चित्र.6.2. वितरण कार्य और वितरण घनत्व। एकसमान कानून

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन Fx(x) के बराबर है

एफएक्स(एक्स)=

अपेक्षा और भिन्नता; .

घातीय (घातांकीय) वितरण।गैर-नकारात्मक मान लेने वाले एक सतत यादृच्छिक चर x में पैरामीटर l>0 के साथ एक घातीय वितरण होता है यदि यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व वितरण बराबर है

рx(x)=

चावल। 6.3. घातांकीय नियम का वितरण फलन और वितरण घनत्व।

घातांकीय वितरण के वितरण फलन का रूप होता है

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width=”17” ऊंचाई=”41”>.gif” width=”13” ऊंचाई=”15”> और यदि इसका वितरण घनत्व बराबर है

.

के माध्यम से पैरामीटर पैरामीटर और के साथ एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित सभी यादृच्छिक चर के सेट को दर्शाता है।

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फलन बराबर होता है

.

चावल। 6.4. वितरण कार्य और सामान्य वितरण घनत्व

सामान्य वितरण के पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width=”64 ऊंचाई=24” ऊंचाई=”24”>

विशेष मामले में जब https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width='44' ऊंचाई='21 src='> सामान्य वितरण कहलाता है मानक, और ऐसे वितरणों के वर्ग को https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" ऊंचाई="49"> द्वारा दर्शाया गया है,

और वितरण समारोह

इस तरह के अभिन्न अंग की गणना विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती (इसे "चतुर्भुज" में नहीं लिया जाता है), और इसलिए फ़ंक्शन के लिए तालिकाएँ संकलित की गई हैं। यह फ़ंक्शन अध्याय 4 में प्रस्तुत लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है

,

निम्नलिखित संबंध द्वारा . मनमाना पैरामीटर मानों के मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width='21' ऊंचाई='21 src='> एक यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन संबंध का उपयोग करके लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है:

.

इसलिए, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के एक अंतराल में गिरने की संभावना की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

.

एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर x को लघुगणकीय रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका लघुगणक h=lnx सामान्य नियम का पालन करता है। लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और विचरण Mx= और Dx= हैं।

कार्य 3.मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width='81' ऊंचाई='23'> दिया गया है।

समाधान।यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" ऊंचाई="45">

लाप्लास वितरणफ़ंक्शन fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif' width='23' ऊंचाई='41'> द्वारा दिया गया है और कर्टोसिस gx=3 है।

चित्र.6.5. लाप्लास वितरण घनत्व फ़ंक्शन।

यादृच्छिक चर x को वितरित किया गया है वेइबुल का नियम, यदि इसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width='189' ऊंचाई='53'> के बराबर है

वेइबुल वितरण कई तकनीकी उपकरणों के विफलता-मुक्त संचालन समय को नियंत्रित करता है। इस प्रोफ़ाइल की समस्याओं में, एक महत्वपूर्ण विशेषता उम्र टी के अध्ययन किए गए तत्वों की विफलता दर (मृत्यु दर) एल (टी) है, जो संबंध एल (टी) = द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि a=1, तो वेइबुल वितरण एक घातीय वितरण में बदल जाता है, और यदि a=2 - तथाकथित वितरण में रेले।

वेइबुल वितरण की गणितीय अपेक्षा: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width=”219” ऊंचाई=”45 src=”>, जहां Г(а) यूलर है समारोह। ।

व्यावहारिक आँकड़ों की विभिन्न समस्याओं में, तथाकथित "काटे गए" वितरण अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, कर अधिकारी उन व्यक्तियों की आय के वितरण में रुचि रखते हैं जिनकी वार्षिक आय कर कानूनों द्वारा स्थापित एक निश्चित सीमा c0 से अधिक है। ये वितरण लगभग पेरेटो वितरण से मेल खाते हैं। पेरेटो वितरणकार्यों द्वारा दिया गया

एफएक्स(एक्स)=पी(एक्स यादृच्छिक चर

यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif' width='60' ऊंचाई='21 src='>.

कार्य 4.यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का घनत्व ज्ञात कीजिए।

समाधान।समस्या की स्थिति से यह निष्कर्ष निकलता है

अगला, फ़ंक्शन एक अंतराल पर एक नीरस और अवकलनीय फलन है और इसका एक व्युत्क्रम फलन है , जिसका व्युत्पन्न इसलिए के बराबर है,

§ 5. सतत यादृच्छिक चरों का युग्म

मान लीजिए कि दो सतत यादृच्छिक चर x और h दिए गए हैं। फिर जोड़ी (x, h) विमान पर एक "यादृच्छिक" बिंदु को परिभाषित करती है। युग्म (x, h) कहलाता है यादृच्छिक वेक्टरया द्वि-आयामी यादृच्छिक चर।

संयुक्त वितरण समारोहयादृच्छिक चर x और h और फ़ंक्शन को F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif' width='173' ऊंचाई='25'> कहा जाता है। संयुक्त घनत्वयादृच्छिक चर x और h के संभाव्यता वितरण को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जैसे कि .

संयुक्त वितरण घनत्व की इस परिभाषा का अर्थ इस प्रकार है। संभावना है कि एक "यादृच्छिक बिंदु" (एक्स, एच) एक विमान पर एक क्षेत्र में गिर जाएगा, इसकी गणना एक त्रि-आयामी आकृति की मात्रा के रूप में की जाती है - सतह से घिरा एक "वक्ररेखीय" सिलेंडर https://pandia.ru/ टेक्स्ट/78/107/इमेज/इमेज098_3

दो यादृच्छिक चरों के संयुक्त वितरण का सबसे सरल उदाहरण द्वि-आयामी है सेट पर समान वितरणए. मान लीजिए कि क्षेत्र के साथ एक परिबद्ध समुच्चय M दिया गया है, इसे निम्नलिखित संयुक्त घनत्व द्वारा परिभाषित जोड़ी (x, h) के वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

कार्य 5.मान लीजिए कि एक द्वि-आयामी यादृच्छिक वेक्टर (x, h) त्रिभुज के अंदर समान रूप से वितरित है। असमानता x>h की संभावना की गणना करें।

समाधान।संकेतित त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है (चित्र संख्या देखें?)। द्वि-आयामी समान वितरण की परिभाषा के आधार पर, यादृच्छिक चर x, h का संयुक्त घनत्व बराबर है

एक घटना एक सेट से मेल खाती है एक समतल पर, अर्थात अर्ध-तल पर। फिर संभावना

अर्ध-तल B पर, सेट https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" ऊंचाई="17"> के बाहर संयुक्त घनत्व शून्य है। इस प्रकार, अर्ध-तल B को दो सेटों में विभाजित किया गया है और https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width='17' ऊंचाई='23'> और, और दूसरा इंटीग्रल बराबर है शून्य, चूँकि वहाँ संयुक्त घनत्व शून्य के बराबर है। इसीलिए

यदि एक जोड़ी (x, h) के लिए संयुक्त वितरण घनत्व दिया गया है, तो दोनों घटकों x और h के घनत्व को कहा जाता है निजी घनत्वऔर सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाती है:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif' width='224' ऊंचाई='23 src='>

घनत्व рx(х), рh(у) के साथ लगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, स्वतंत्रता का अर्थ है कि

कार्य 6.पिछली समस्या की स्थितियों में, निर्धारित करें कि क्या यादृच्छिक वेक्टर x और h के घटक स्वतंत्र हैं?

समाधान. आइए आंशिक घनत्व की गणना करें और। हमारे पास है:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width=”283” ऊंचाई=”61 src=”>

जाहिर है, हमारे मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif' width='64' ऊंचाई='25'> मात्राओं x और h का संयुक्त घनत्व है, और j( x, y) तो दो तर्कों का एक फलन है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width=”184” ऊंचाई=”152 src=”>

कार्य 7.पिछली समस्या की स्थितियों में, गणना करें।

समाधान।उपरोक्त सूत्र के अनुसार हमारे पास है:

.

त्रिभुज को इस रूप में निरूपित करना

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width=”479” ऊंचाई=”59”>

§ 5. दो सतत यादृच्छिक चरों के योग का घनत्व

मान लीजिए कि x और h घनत्व के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width='43' ऊंचाई='25'>। यादृच्छिक चर का घनत्व x + h की गणना सूत्र द्वारा की जाती है कनवल्शन

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif' width='39' ऊंचाई='19 src='>. योग के घनत्व की गणना करें.

समाधान।चूँकि x और h को पैरामीटर के साथ घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, इसलिए उनका घनत्व बराबर होता है

इस तरह,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width=”339 ऊंचाई=51” ऊंचाई=”51”>

यदि एक्स<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">नकारात्मक है, और इसलिए. इसलिए, यदि https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif' width='359 ऊंचाई=101' ऊंचाई='101'>

इस प्रकार हमें उत्तर मिला:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width=”40” ऊंचाई=”41 “> सामान्यतः पैरामीटर 0 और 1 के साथ वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर X1 और x2 स्वतंत्र हैं और सामान्य हैं क्रमशः पैरामीटर a1, और a2 के साथ वितरण सिद्ध करें कि x1 + x2 का एक सामान्य वितरण है। यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn वितरित और स्वतंत्र हैं और उनका वितरण घनत्व कार्य समान है।

.

मानों के वितरण फलन और वितरण घनत्व का पता लगाएं:

ए) एच1 = मिनट (एक्स1, एक्स2, ...एक्सएन) ; बी) एच(2) = अधिकतम (x1,x2,...xn)

यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn स्वतंत्र हैं और अंतराल [a, b] पर समान रूप से वितरित हैं। मात्राओं के वितरण के वितरण फलन और घनत्व फलन खोजें

x(1) = न्यूनतम (x1,x2, ...xn) और x(2)= अधिकतम(x1, x2, ...xn)।

साबित करें कि Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width='176' ऊंचाई='47'>.

यादृच्छिक चर को कॉची के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है: ए) गुणांक ए; बी) वितरण समारोह; ग) अंतराल (-1, 1) में गिरने की संभावना। दिखाएँ कि x की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। यादृच्छिक चर पैरामीटर l (l>0) के साथ लाप्लास के नियम के अधीन है: गुणांक a खोजें; वितरण घनत्व ग्राफ़ और वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें; एमएक्स और डीएक्स खोजें; घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

वितरण घनत्व के लिए एक सूत्र लिखें, एमएक्स और डीएक्स खोजें।

कम्प्यूटेशनल कार्य.

एक यादृच्छिक बिंदु A का त्रिज्या R के एक वृत्त में एक समान वितरण होता है। वृत्त के केंद्र से बिंदु की दूरी r की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए। दिखाएँ कि मान r2 खंड पर समान रूप से वितरित है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), विचरण और संभाव्यता की गणना करें। एक यादृच्छिक चर में एक वितरण फलन होता है

एक यादृच्छिक चर के घनत्व, गणितीय अपेक्षा, विचरण और संभाव्यता की गणना करें जांचें कि फ़ंक्शन =
एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन हो सकता है। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए: Mx और Dx। यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वितरण घनत्व लिखिए। वितरण फलन ज्ञात कीजिए। खंड और खंड पर एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। वितरण घनत्व x के बराबर है

.

स्थिरांक c, वितरण घनत्व h = और संभाव्यता ज्ञात करें

पी (0.25

कंप्यूटर का विफलता-मुक्त संचालन समय पैरामीटर एल = 0.05 (प्रति घंटे विफलता) के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, यानी, इसमें घनत्व फ़ंक्शन होता है

पी(एक्स) = .

एक निश्चित समस्या को हल करने के लिए 15 मिनट तक मशीन के परेशानी मुक्त संचालन की आवश्यकता होती है। यदि किसी समस्या को हल करते समय कोई विफलता होती है, तो समाधान पूरा होने के बाद ही त्रुटि का पता चलता है, और समस्या फिर से हल हो जाती है। खोजें: ए) संभावना है कि समस्या के समाधान के दौरान एक भी विफलता नहीं होगी; बी) औसत समय जिसमें समस्या हल हो जाएगी।

24 सेमी लंबी एक छड़ दो भागों में टूट गई है; हम मान लेंगे कि ब्रेक पॉइंट रॉड की पूरी लंबाई पर समान रूप से वितरित है। अधिकांश छड़ की औसत लंबाई क्या है? 12 सेमी लंबाई का एक टुकड़ा यादृच्छिक रूप से दो भागों में काटा जाता है। कट बिंदु को खंड की पूरी लंबाई में समान रूप से वितरित किया जाता है। खंड के छोटे भाग की औसत लंबाई क्या है? यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए a) h1 = 2x + 1; बी) h2 =-ln(1-x); ग) h3 = .

दिखाएँ कि यदि x का सतत वितरण फलन है

एफ(एक्स) = पी(एक्स

क्रमशः खंडों पर समान वितरण कानूनों के साथ दो स्वतंत्र मात्राओं x और h के योग का घनत्व फलन और वितरण फलन ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर स्वतंत्र होते हैं और घनत्व के साथ एक घातीय वितरण होता है . उनके योग का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए। स्वतंत्र यादृच्छिक चर x और h के योग का वितरण ज्ञात करें, जहाँ x का अंतराल पर एक समान वितरण है, और h का पैरामीटर l के साथ एक घातांकीय वितरण है। पी खोजें , यदि x में है: a) पैरामीटर a और s2 के साथ सामान्य वितरण; बी) पैरामीटर एल के साथ घातीय वितरण; ग) खंड पर समान वितरण [-1;1]। x, h का संयुक्त वितरण वर्ग समान है
के = (एक्स, वाई): |एक्स| +|y|£2). संभाव्यता खोजें . क्या x और h स्वतंत्र हैं? यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी त्रिभुज K= के अंदर समान रूप से वितरित की जाती है। घनत्व x और h की गणना करें। क्या ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं? प्रायिकता ज्ञात कीजिए. यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और खंडों और [-1,1] पर समान रूप से वितरित हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए. एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर (x, h) शीर्षों (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) वाले एक वर्ग में समान रूप से वितरित किया जाता है। बिंदु (1, -1) पर संयुक्त वितरण फलन का मान ज्ञात कीजिए। एक यादृच्छिक वेक्टर (x, h) मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 3 के एक वृत्त के अंदर समान रूप से वितरित किया जाता है। संयुक्त वितरण घनत्व के लिए एक अभिव्यक्ति लिखिए। निर्धारित करें कि क्या ये यादृच्छिक चर निर्भर हैं। संभाव्यता की गणना करें. यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी समान रूप से बिंदुओं (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) पर शीर्षों के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड के अंदर वितरित की जाती है। यादृच्छिक चर की इस जोड़ी और घटकों के घनत्व के लिए संयुक्त वितरण घनत्व ज्ञात करें। क्या x और h आश्रित हैं? एक यादृच्छिक युग्म (x, h) अर्धवृत्त के अंदर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। दो यादृच्छिक चर x और h का संयुक्त घनत्व बराबर है .
घनत्व x, h ज्ञात कीजिए। x और h की निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एक यादृच्छिक जोड़ी (x, h) सेट पर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एम(एक्सएच) खोजें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और पैरामीटर फाइंड के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं

सामान्य संभाव्यता वितरण कानून

अतिशयोक्ति के बिना इसे दार्शनिक नियम कहा जा सकता है। अपने आस-पास की दुनिया में विभिन्न वस्तुओं और प्रक्रियाओं का अवलोकन करते हुए, हम अक्सर इस तथ्य का सामना करते हैं कि कुछ चीजें पर्याप्त नहीं हैं, और यह एक आदर्श है:


यहाँ एक बुनियादी दृश्य है घनत्व कार्यसामान्य संभाव्यता वितरण, और मैं इस दिलचस्प पाठ में आपका स्वागत करता हूं।

आप क्या उदाहरण दे सकते हैं? उनमें बस अंधकार है। यह, उदाहरण के लिए, लोगों की ऊंचाई, वजन (और न केवल), उनकी शारीरिक शक्ति, मानसिक क्षमताएं आदि हैं। एक "मुख्य द्रव्यमान" है (किसी न किसी कारण से)और दोनों दिशाओं में विचलन हैं।

ये निर्जीव वस्तुओं (समान आकार, वजन) की विभिन्न विशेषताएं हैं। यह प्रक्रियाओं की एक यादृच्छिक अवधि है, उदाहरण के लिए, सौ मीटर की दौड़ का समय या राल का एम्बर में परिवर्तन। भौतिकी से, मुझे वायु के अणु याद आए: उनमें से कुछ धीमे हैं, कुछ तेज़ हैं, लेकिन अधिकांश "मानक" गति से चलते हैं।

इसके बाद, हम एक और मानक विचलन द्वारा केंद्र से विचलन करते हैं और ऊंचाई की गणना करते हैं:

ड्राइंग पर बिंदु अंकित करना (हरा रंग)और हम देखते हैं कि यह काफी है।

अंतिम चरण में, हम सावधानीपूर्वक एक ग्राफ़ बनाते हैं, और विशेष रूप से सावधानी सेइसे प्रतिबिंबित करें उत्तल अवतल! ठीक है, आपको शायद बहुत पहले ही एहसास हो गया था कि एक्स-अक्ष है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा, और इसके पीछे "चढ़ना" बिल्कुल मना है!

किसी समाधान को इलेक्ट्रॉनिक रूप से दाखिल करते समय, एक्सेल में एक ग्राफ़ बनाना आसान होता है, और मेरे लिए अप्रत्याशित रूप से, मैंने इस विषय पर एक छोटा वीडियो भी रिकॉर्ड किया। लेकिन पहले, आइए इस बारे में बात करें कि सामान्य वक्र का आकार और के मान के आधार पर कैसे बदलता है।

"ए" को बढ़ाने या घटाने पर (निरंतर "सिग्मा" के साथ)ग्राफ़ अपना आकार बरकरार रखता है और दाएं/बाएं चलता हैक्रमश। इसलिए, उदाहरण के लिए, जब फ़ंक्शन फॉर्म लेता है और हमारा ग्राफ 3 इकाइयों को बाईं ओर "स्थानांतरित" करता है - बिल्कुल निर्देशांक की उत्पत्ति के लिए:


शून्य गणितीय अपेक्षा वाली सामान्य रूप से वितरित मात्रा को पूर्णतः प्राकृतिक नाम प्राप्त हुआ - केंद्रित; इसका घनत्व कार्य – यहां तक ​​की, और ग्राफ़ कोटि के बारे में सममित है।

"सिग्मा" के परिवर्तन के मामले में (निरंतर "ए" के साथ), ग्राफ़ "वही रहता है" लेकिन आकार बदलता है। बड़ा होने पर, यह निचला और लम्बा हो जाता है, जैसे ऑक्टोपस अपने जाल को फैलाता है। और, इसके विपरीत, ग्राफ़ कम करते समय संकरा और लम्बा हो जाता है- यह एक "आश्चर्यचकित ऑक्टोपस" निकला। हाँ कब घटाना"सिग्मा" दो बार: पिछला ग्राफ दो बार संकीर्ण और फैला हुआ है:

सब कुछ पूर्णतया अनुरूप है ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन.

एक इकाई सिग्मा मान वाले सामान्य वितरण को कहा जाता है सामान्यीकृत, और यदि यह भी है केंद्रित(हमारा मामला), तो ऐसे वितरण को कहा जाता है मानक. इसमें और भी सरल घनत्व फ़ंक्शन है, जो पहले ही पाया जा चुका है लाप्लास का स्थानीय प्रमेय: . मानक वितरण को व्यवहार में व्यापक अनुप्रयोग मिला है, और बहुत जल्द हम अंततः इसके उद्देश्य को समझ जाएंगे।

खैर, अब आइये फिल्म देखें:

हां, बिल्कुल सही - किसी तरह नाहक ही यह छाया में रहा संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन. आइए उसे याद करें परिभाषा:
- संभावना है कि एक यादृच्छिक चर उस चर से कम मूल्य लेगा जो सभी वास्तविक मूल्यों को "प्लस" अनंत तक "चलता है"।

इंटीग्रल के अंदर, आमतौर पर एक अलग अक्षर का उपयोग किया जाता है ताकि नोटेशन के साथ कोई "ओवरलैप" न हो, क्योंकि यहां प्रत्येक मान जुड़ा हुआ है अभिन्न अनुचित , जो कुछ के बराबर है संख्याअंतराल से.

लगभग सभी मानों की सटीक गणना नहीं की जा सकती, लेकिन जैसा कि हमने अभी देखा, आधुनिक कंप्यूटिंग शक्ति के साथ यह मुश्किल नहीं है। तो, समारोह के लिए मानक वितरण, संबंधित एक्सेल फ़ंक्शन में आम तौर पर एक तर्क होता है:

=NORMSDIST(z)

एक, दो - और आपका काम हो गया:

चित्र स्पष्ट रूप से सभी के कार्यान्वयन को दर्शाता है वितरण फ़ंक्शन गुण, और यहां की तकनीकी बारीकियों पर आपको ध्यान देना चाहिए क्षैतिज अनंतस्पर्शीऔर विभक्ति बिंदु.

आइए अब विषय के प्रमुख कार्यों में से एक को याद करें, अर्थात्, यह पता लगाएं कि एक सामान्य यादृच्छिक चर की संभावना कैसे प्राप्त करें अंतराल से मान लेगा. ज्यामितीय रूप से, यह संभावना बराबर है क्षेत्रसंबंधित अनुभाग में सामान्य वक्र और x-अक्ष के बीच:

लेकिन हर बार मैं अनुमानित मूल्य प्राप्त करने का प्रयास करता हूं अनुचित है, और इसलिए इसका उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है "प्रकाश" सूत्र:
.

! भी याद है , क्या

यहां आप फिर से एक्सेल का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण "लेकिन" हैं: सबसे पहले, यह हमेशा हाथ में नहीं होता है, और दूसरी बात, "तैयार-निर्मित" मान संभवतः शिक्षक से सवाल उठाएंगे। क्यों?

मैंने पहले भी कई बार इस बारे में बात की है: एक समय में (और बहुत पहले नहीं) एक नियमित कैलकुलेटर एक विलासिता थी, और प्रश्न में समस्या को हल करने की "मैन्युअल" विधि अभी भी शैक्षिक साहित्य में संरक्षित है। इसका सार है प्रमाण के अनुसार करनामान "अल्फ़ा" और "बीटा", अर्थात, मानक वितरण के समाधान को कम करें:

टिप्पणी : सामान्य मामले से फ़ंक्शन प्राप्त करना आसान हैरैखिक का उपयोग करना प्रतिस्थापन. तब भी:

और किए गए प्रतिस्थापन से सूत्र इस प्रकार है: एक मनमाना वितरण के मूल्यों से मानक वितरण के संगत मूल्यों में संक्रमण।

यह क्यों आवश्यक है? तथ्य यह है कि मूल्यों की गणना हमारे पूर्वजों द्वारा सावधानीपूर्वक की गई थी और एक विशेष तालिका में संकलित की गई थी, जो टर्वर पर कई पुस्तकों में है। लेकिन इससे भी अधिक बार मूल्यों की एक तालिका होती है, जिसके बारे में हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं लाप्लास का अभिन्न प्रमेय:

यदि हमारे पास लाप्लास फ़ंक्शन के मूल्यों की एक तालिका है , फिर हम इसके माध्यम से हल करते हैं:

भिन्नात्मक मानों को पारंपरिक रूप से 4 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित किया जाता है, जैसा कि मानक तालिका में किया जाता है। और नियंत्रण के लिए वहाँ है बिंदु 5 लेआउट.

मैं तुम्हें वह याद दिलाता हूं , और भ्रम से बचने के लिए हमेशा नियंत्रण, WHAT फ़ंक्शन की एक तालिका आपकी आंखों के सामने है।

उत्तरइसे प्रतिशत के रूप में देना आवश्यक है, इसलिए गणना की गई संभावना को 100 से गुणा किया जाना चाहिए और परिणाम एक सार्थक टिप्पणी के साथ प्रदान किया जाना चाहिए:

- 5 से 70 मीटर की उड़ान के साथ, लगभग 15.87% गोले गिरेंगे

हम स्वयं प्रशिक्षण लेते हैं:

उदाहरण 3

फ़ैक्टरी-निर्मित बीयरिंगों का व्यास एक यादृच्छिक चर है, जिसे आम तौर पर 1.5 सेमी की गणितीय अपेक्षा और 0.04 सेमी के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। संभावना ज्ञात करें कि यादृच्छिक रूप से चयनित बीयरिंग का आकार 1.4 से 1.6 सेमी तक होता है।

नमूना समाधान और नीचे में, मैं सबसे आम विकल्प के रूप में लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करूंगा। वैसे ध्यान दें कि शब्दांकन के अनुसार अंतराल के सिरों को यहां विचार में शामिल किया जा सकता है। हालाँकि, यह महत्वपूर्ण नहीं है.

और पहले से ही इस उदाहरण में हमें एक विशेष मामले का सामना करना पड़ा - जब अंतराल गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित है। ऐसी स्थिति में, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है और, लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करके, कार्य सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

डेल्टा पैरामीटर कहा जाता है विचलनगणितीय अपेक्षा से, और दोहरी असमानता का उपयोग करके "पैकेज" किया जा सकता है मापांक:

- संभावना है कि एक यादृच्छिक चर का मान गणितीय अपेक्षा से कम से कम विचलित होगा।

यह अच्छा है कि समाधान एक पंक्ति में फिट बैठता है :)
- संभावना है कि यादृच्छिक रूप से लिए गए बेयरिंग का व्यास 1.5 सेमी से 0.1 सेमी से अधिक नहीं है।

इस कार्य का परिणाम एकता के करीब निकला, लेकिन मैं और भी अधिक विश्वसनीयता चाहूंगा - अर्थात्, उन सीमाओं का पता लगाना जिनके भीतर व्यास स्थित है लगभग हर कोईबियरिंग्स. क्या इसके लिए कोई मापदंड है? मौजूद! पूछे गए प्रश्न का उत्तर तथाकथित द्वारा दिया गया है

"तीन सिग्मा" नियम

इसका सार यही है व्यावहारिक रूप से विश्वसनीय तथ्य यह है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर अंतराल से एक मान लेगा .

दरअसल, अपेक्षित मूल्य से विचलन की संभावना इससे कम है:
या 99.73%

बीयरिंगों के संदर्भ में, ये 1.38 से 1.62 सेमी व्यास वाले 9973 टुकड़े हैं और केवल 27 "घटिया" प्रतियां हैं।

व्यावहारिक अनुसंधान में, थ्री सिग्मा नियम आमतौर पर विपरीत दिशा में लागू किया जाता है: यदि सांख्यिकीययह पाया गया कि लगभग सभी मान यादृच्छिक चर का अध्ययन किया जा रहा है 6 मानक विचलनों के अंतराल के भीतर आते हैं, तो यह मानने के लिए बाध्यकारी कारण हैं कि यह मान एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। सत्यापन सिद्धांत का उपयोग करके किया जाता है सांख्यिकीय परिकल्पनाएँ.

हम कठोर सोवियत समस्याओं को हल करना जारी रखते हैं:

उदाहरण 4

वज़न त्रुटि का यादृच्छिक मान शून्य गणितीय अपेक्षा और 3 ग्राम के मानक विचलन के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला वजन निरपेक्ष मान में 5 ग्राम से अधिक की त्रुटि के साथ किया जाएगा।

समाधानबहुत सरल। शर्त के अनुसार, हम तुरंत अगले वजन पर ध्यान देते हैं (कुछ या कोई)हम 9 ग्राम की सटीकता के साथ लगभग 100% परिणाम प्राप्त करेंगे। लेकिन समस्या में एक संकीर्ण विचलन और सूत्र के अनुसार शामिल है :

- संभावना है कि अगला वजन 5 ग्राम से अधिक की त्रुटि के साथ किया जाएगा।

उत्तर:

हल की गई समस्या मौलिक रूप से समान प्रतीत होने वाली समस्या से भिन्न है। उदाहरण 3के बारे में सबक वर्दी वितरण. एक त्रुटि हुई गोलाईमाप परिणाम, यहां हम माप की यादृच्छिक त्रुटि के बारे में बात कर रहे हैं। ऐसी त्रुटियाँ डिवाइस की तकनीकी विशेषताओं के कारण ही उत्पन्न होती हैं। (स्वीकार्य त्रुटियों की सीमा आमतौर पर उसके पासपोर्ट में इंगित की जाती है), और प्रयोगकर्ता की गलती के कारण भी - जब हम, उदाहरण के लिए, "आंख से" उसी तराजू की सुई से रीडिंग लेते हैं।

दूसरों के बीच, तथाकथित भी हैं व्यवस्थितमाप त्रुटियाँ. पहले से ही गैर यादृच्छिकत्रुटियाँ जो डिवाइस के गलत सेटअप या संचालन के कारण होती हैं। उदाहरण के लिए, अनियमित फ़्लोर स्केल लगातार किलोग्राम "जोड़" सकते हैं, और विक्रेता व्यवस्थित रूप से ग्राहकों का वज़न कम करता है। या फिर इसकी गणना व्यवस्थित ढंग से नहीं की जा सकती. हालाँकि, किसी भी मामले में, ऐसी त्रुटि यादृच्छिक नहीं होगी, और इसकी अपेक्षा शून्य से भिन्न है।

...मैं तत्काल एक बिक्री प्रशिक्षण पाठ्यक्रम विकसित कर रहा हूं =)

आइए उलटी समस्या को स्वयं हल करें:

उदाहरण 5

रोलर का व्यास एक यादृच्छिक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है, इसका मानक विचलन मिमी के बराबर है। गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित अंतराल की लंबाई ज्ञात करें, जिसमें रोलर व्यास की लंबाई गिरने की संभावना है।

बिंदु 5* डिज़ाइन योजनाकी मदद। कृपया ध्यान दें कि गणितीय अपेक्षा यहां ज्ञात नहीं है, लेकिन यह हमें समस्या को हल करने से बिल्कुल भी नहीं रोकती है।

और एक परीक्षा कार्य जिसकी सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं:

उदाहरण 6

एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर को उसके मापदंडों (गणितीय अपेक्षा) और (मानक विचलन) द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। आवश्यक:

ए) संभाव्यता घनत्व लिखें और योजनाबद्ध रूप से इसके ग्राफ को चित्रित करें;
बी) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह अंतराल से एक मान लेगा ;
ग) इस संभावना का पता लगाएं कि निरपेक्ष मान से अधिक विचलन नहीं होगा;
घ) "तीन सिग्मा" नियम का उपयोग करके, यादृच्छिक चर के मान ज्ञात करें।

ऐसी समस्याएं हर जगह पेश की जाती हैं, और अभ्यास के वर्षों में मैंने उनमें से सैकड़ों को हल किया है। हाथ से और पेपर टेबल का उपयोग करके चित्र बनाने का अभ्यास अवश्य करें;)

खैर, मैं बढ़ी हुई जटिलता का एक उदाहरण देखूंगा:

उदाहरण 7

एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व का रूप होता है . खोजें, गणितीय अपेक्षा, विचरण, वितरण फलन, घनत्व ग्राफ और वितरण फलन बनाएं, खोजें।

समाधान: सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि शर्त यादृच्छिक चर की प्रकृति के बारे में कुछ नहीं कहती है। किसी प्रतिपादक की उपस्थिति का अपने आप में कोई मतलब नहीं है: उदाहरण के लिए, यह सामने आ सकता है, सूचकया मनमाना भी निरंतर वितरण. और इसलिए वितरण की "सामान्यता" को अभी भी उचित ठहराने की आवश्यकता है:

समारोह के बाद से पर निर्धारित कोईवास्तविक मूल्य, और इसे रूप में घटाया जा सकता है , तो यादृच्छिक चर को सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

ये रहा। इसके लिए एक पूर्ण वर्ग चुनेंऔर व्यवस्थित करें तीन मंजिला अंश:


संकेतक को उसके मूल स्वरूप में लौटाते हुए जाँच करना सुनिश्चित करें:

, जो हम देखना चाहते थे।

इस प्रकार:
- द्वारा शक्तियों के साथ संचालन का नियम"चुंडी मारना" और यहां आप स्पष्ट संख्यात्मक विशेषताओं को तुरंत लिख सकते हैं:

आइए अब पैरामीटर का मान ज्ञात करें। चूँकि सामान्य वितरण गुणक का रूप और होता है, तो:
, जहां से हम अपने कार्य में व्यक्त और प्रतिस्थापित करते हैं:
, जिसके बाद हम एक बार फिर अपनी आँखों से रिकॉर्डिंग देखेंगे और सुनिश्चित करेंगे कि परिणामी फ़ंक्शन का रूप हो .

आइए एक घनत्व ग्राफ बनाएं:

और वितरण फ़ंक्शन ग्राफ़ :

यदि आपके पास एक्सेल या नियमित कैलकुलेटर भी नहीं है, तो अंतिम ग्राफ़ आसानी से मैन्युअल रूप से बनाया जा सकता है! बिंदु पर वितरण फ़ंक्शन मान लेता है और यह यहाँ है

9. निरंतर यादृच्छिक चर की अपेक्षा और फैलाव

चलो एक सतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण घनत्व द्वारा दिया गया एफ(एक्स) .

परिभाषा9.1: एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स, [ ए, बी]

बैल, वह

टिप्पणी:यह माना जाता है कि अनुचित अभिन्न पूरी तरह से अभिसरण करता है, यानी, एक अभिन्न मौजूद है

परिभाषा9.2: एक सतत यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्स, जिसके संभावित मान खंड से संबंधित हैं [ ए, बी] , निश्चित अभिन्न कहा जाता है

यदि संभव हो तो मान संपूर्ण अक्ष से संबंधित हैं बैल, वह

क्योंकि डी(एक्स) = एम(एक्स 2 ) – [ एम(एक्स)] 2 , तो आप विचरण की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

या
.

टिप्पणी:निरंतर चर के लिए गणितीय अपेक्षा और असतत यादृच्छिक चर के फैलाव के गुणों को भी संरक्षित किया जाता है।

सतत यादृच्छिक चर का मानक विचलनअसतत मामले के समान परिभाषित किया गया है:

.

10. सतत यादृच्छिक चर के विशिष्ट वितरण

10.1. वर्दी वितरण

परिभाषा 10.1: प्रायिकता वितरणबुलाया वर्दी, यदि उस अंतराल पर जिसमें यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान हैं, तो वितरण घनत्व स्थिर रहता है।

उदाहरण।मापने वाले उपकरण के पैमाने को कुछ इकाइयों में स्नातक किया जाता है। किसी रीडिंग को निकटतम पूर्ण विभाजन में पूर्णांकित करते समय होने वाली त्रुटि को एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है एक्स, जो निरंतर संभाव्यता घनत्व के साथ, दो आसन्न पूर्णांक विभाजनों के बीच कोई भी मान ले सकता है। इस प्रकार, एक्स एक समान वितरण है.

आइए समान वितरण घनत्व ज्ञात करें एफ(एक्स) :

शर्त से, एक्सअंतराल के बाहर मान स्वीकार नहीं करता (ए, बी), इसीलिए एफ(एक्स)=0 पर एक्स एऔर एक्स > बी.

आइए एक स्थिरांक खोजें सीउस स्थिति से
. तब
.

यहाँ से
.

तो, एक समान वितरण की वांछित संभाव्यता घनत्व का रूप है:

एक समान यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

एक यादृच्छिक चर के लिए एक्स, अंतराल में समान रूप से वितरित ( ए, बी), किसी भी अंतराल में गिरने की संभावना ( एक्स 1 , एक्स 2 ), अंतराल के अंदर झूठ बोलना ( ए, बी), के बराबर है:
, अर्थात्, यह अंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है, न कि इस पर कि यह कहाँ स्थित है।

समान वितरण घनत्व ग्राफ इस तरह दिखता है:

एक समान यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

उदाहरण:आइए एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें एक्स, अंतराल में समान रूप से वितरित (ए, बी).

समाधान:समान वितरण घनत्व को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अंततः, हमें वह मिल गया

.

मानक विचलन
.

टिप्पणी:उदाहरण के लिए, यदि एक्स- यादृच्छिक चर अंतराल पर समान रूप से वितरित (0,1) , वह
,
,
.

10.2. सामान्य (गाऊसी) वितरण

परिभाषा 10.2: सामान्यएक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है, जिसे निम्नलिखित संभाव्यता घनत्व द्वारा वर्णित किया गया है:

, कहाँ
.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स) निम्नलिखित रूप है:

सामान्य वितरण का घनत्व ग्राफ कहलाता है सामान्य वक्रया गाऊसी वक्र.

सामान्य वितरण दो मापदंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है: और
. इन मापदंडों का संभाव्य अर्थ इस प्रकार है: एक गणितीय अपेक्षा है, - सामान्य वितरण का मानक विचलन, अर्थात
और
.

एक सामान्य यादृच्छिक चर के वितरण फलन के ग्राफ़ का निम्न रूप होता है:

टिप्पणी: मानक सामान्यया सामान्यीकृतमापदंडों के साथ सामान्य वितरण कहा जाता है
और
. उदाहरण के लिए, यदि एक्सपैरामीटर्स के साथ एक सामान्य मान है और, फिर
- मानक सामान्य मूल्य, और
और
. मानक सामान्य वितरण के घनत्व का रूप होता है

.

यह फ़ंक्शन सारणीबद्ध है (परिशिष्ट 1 देखें)।

वितरण समारोह
सामान्य वितरण का रूप है:

.

मानक सामान्य वितरण के वितरण फलन का रूप है:

.

टिप्पणी:
.

टिप्पणी:मानक सामान्य मान तक पहुँचने की संभावना एक्सअंतराल में (0 , एक्स) का उपयोग करके पाया जा सकता है लाप्लास फ़ंक्शन
:

,

और
.

समारोह
सारणीबद्ध (परिशिष्ट 2 देखें)।

सामान्य वक्र के आकार पर सामान्य वितरण मापदंडों का प्रभाव

पैरामीटर का मान (गणितीय अपेक्षा) बदलने से सामान्य वक्र का आकार नहीं बदलता है, बल्कि केवल अक्ष के साथ इसकी शिफ्ट होती है बैल: यदि यह बढ़ रहा है तो दाईं ओर, और यदि यह घट रहा है तो बाईं ओर:

सामान्य वितरण की अधिकतम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के बराबर है
.

इसका तात्पर्य यह है कि अधिकतम बढ़ने के साथ सामान्य वक्र की कोटि कम हो जाती है, और वक्र स्वयं चपटा हो जाता है, अर्थात यह अक्ष की ओर सिकुड़ जाता है बैल; जैसे-जैसे यह घटता है, सामान्य वक्र अधिक "नुकीला" हो जाता है और अक्ष की सकारात्मक दिशा में फैल जाता है ओए:

टिप्पणी:किसी भी पैरामीटर मान और सामान्य वक्र और अक्ष से घिरे क्षेत्र के लिए बैल, एक के बराबर रहता है।

एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना

चलो यादृच्छिक चर एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित किया गया। तब संभावना यह है कि एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा
, बराबर है

आइए एक नया वेरिएबल पेश करें
यहाँ से,
,
आइए एकीकरण की नई सीमाएँ खोजें। अगर
वह
; तो अगर

इस प्रकार हमारे पास है

लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण।यादृच्छिक मूल्य एक्सके साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया गया
और
. यादृच्छिक चर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए एक्सअंतराल से संबंधित एक मान लेगा।

समाधान:

परिशिष्ट 2 की तालिका से हम पाते हैं
इसलिए वांछित संभावना

उदाहरण।एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स, जो सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

समाधान:एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार,

.

आइए एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करें इसलिए,,। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि एकीकरण की नई सीमाएँ पुरानी सीमाओं के बराबर हैं, हम प्राप्त करते हैं

पदों में से पहला शून्य के बराबर है (अभिन्न चिह्न के तहत फ़ंक्शन विषम है; एकीकरण की सीमाएं मूल के संबंध में सममित हैं)। पदों में से दूसरा बराबर है ए(पॉइसन इंटीग्रल
).

टिप्पणी:सामान्य यादृच्छिक चर के विचरण की गणना करते समय, चर का समान परिवर्तन किया जाता है और भागों द्वारा एकीकरण सूत्र लागू किया जाता है।

तीन सिग्मा नियम

आइए हम सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के विचलन की संभावना की गणना करें एक्सनिरपेक्ष मान में मानक विचलन के तिगुने से कम:

इस प्रकार, तीन सिग्मा नियम का सार इस प्रकार है: यदि एक यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा से इसके विचलन का पूर्ण मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है:

व्यवहार में, तीन-सिग्मा नियम इस प्रकार लागू किया जाता है: यदि अध्ययन किए जा रहे यादृच्छिक चर का वितरण अज्ञात है, लेकिन उपरोक्त नियम में निर्दिष्ट शर्त पूरी हो गई है, यानी, यह मानने का कारण है कि अध्ययन किया जा रहा चर है सामान्य रूप से वितरित; अन्यथा यह सामान्य रूप से वितरित नहीं होता है।

10.3. घातांकी रूप से वितरण

परिभाषा 10.3: घातीयसतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण कहा जाता है एक्स, जो घनत्व द्वारा वर्णित है

कहाँ - निरंतर सकारात्मक मूल्य.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एफ(एक्स) निम्नलिखित रूप है:

उदाहरण के लिए, समय टीकंप्यूटर सिस्टम का विफलता-मुक्त संचालन एक यादृच्छिक चर है जिसमें पैरामीटर के साथ घातांकीय वितरण होता है λ , जिसका भौतिक अर्थ समय की प्रति इकाई विफलताओं की औसत संख्या है। स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज में कॉलों के क्रमिक आगमन के बीच का अंतराल, किसी चौराहे की स्टॉप लाइन पर कारों के क्रमिक आगमन के बीच का अंतराल सांकेतिक यादृच्छिक चर के उदाहरण हैं।

आइए हम घातांकीय नियम का वितरण फलन ज्ञात करें:

.

घातीय वितरण फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

उदाहरण।यदि पैरामीटर हो तो घातीय नियम का घनत्व और वितरण फलन लिखें

समाधान।जाहिर है, वांछित वितरण घनत्व

पर
;
पर
.

आवश्यक वितरण फ़ंक्शन

पर ;
पर ।

घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर के दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना

आइए अंतराल में गिरने की प्रायिकता ज्ञात करें (ए, बी) निरंतर यादृच्छिक चर एक्स, जो वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है

.

सूत्र का उपयोग करना और उस पर विचार करना

हम पाते हैं

फ़ंक्शन मान
तालिका से पाया गया (परिशिष्ट 4)।

उदाहरण:निरंतर यादृच्छिक चर एक्सघातांकीय नियम के अनुसार वितरित

पर ; पर
. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल में पड़ता है (0,3;1) .

समाधान।शर्त से,
. फिरएक्स

टिप्पणी:मान लीजिए कि यह मानने के आधार हैं कि व्यवहार में अध्ययन किए गए यादृच्छिक चर का एक घातांकीय वितरण होता है। इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन के अनुमान पाए जाते हैं, अर्थात। नमूना माध्य और नमूना मानक विचलन ज्ञात करें। घातांकीय वितरण की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए उनके अनुमान थोड़े भिन्न होने चाहिए। यदि अनुमान एक-दूसरे के करीब निकलते हैं, तो अवलोकन डेटा अध्ययन किए जा रहे मूल्य के घातीय वितरण के बारे में परिकल्पना की पुष्टि करता है, लेकिन यदि अनुमान महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होते हैं, तो परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए।

जैसा कि ज्ञात है, अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक परिवर्तनीय मात्रा कहलाती है जो मामले के आधार पर कुछ निश्चित मान ले सकती है। यादृच्छिक चर को लैटिन वर्णमाला (X, Y, Z) के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और उनके मान संबंधित छोटे अक्षरों (x, y, z) द्वारा दर्शाए जाते हैं। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है।

असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं के साथ मूल्यों का केवल एक सीमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मानों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

1 . वितरण कानून तालिका द्वारा दिया जा सकता है:

जहां λ>0, k = 0, 1, 2,…।

वी)का उपयोग करके वितरण फलन F(x) , जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).

फ़ंक्शन के गुण F(x)

3 . वितरण कानून को रेखांकन द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है – वितरण बहुभुज (बहुभुज) (समस्या 3 देखें)।

ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या कई संख्याओं को जानना पर्याप्त है जो वितरण कानून की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह एक संख्या हो सकती है जिसमें किसी यादृच्छिक चर के "औसत मान" का अर्थ होता है, या एक संख्या जो किसी यादृच्छिक चर के औसत मान से विचलन के औसत आकार को दर्शाती है। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ कहा जाता है।

असतत यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएँ :

• गणितीय अपेक्षा एक असतत यादृच्छिक चर का (औसत मान)। एम(एक्स)=Σ एक्स आई पी आई.
  द्विपद वितरण के लिए M(X)=np, पॉइसन वितरण के लिए M(X)=λ
• फैलाव असतत यादृच्छिक चर डी(एक्स)=एम2या डी(एक्स) = एम(एक्स 2)− 2. अंतर X-M(X) को किसी यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन कहा जाता है।
  द्विपद वितरण के लिए D(X)=npq, पॉइसन वितरण के लिए D(X)=λ
• मानक विचलन (मानक विचलन) σ(X)=√D(X).

"असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1।

1000 लॉटरी टिकट जारी किए गए: उनमें से 5 500 रूबल जीतेंगे, 10 100 रूबल जीतेंगे, 20 50 रूबल जीतेंगे, 50 10 रूबल जीतेंगे। यादृच्छिक चर X - प्रति टिकट जीत की संभाव्यता वितरण का नियम निर्धारित करें।

समाधान। समस्या की स्थितियों के अनुसार, यादृच्छिक चर X के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 10, 50, 100 और 500।

बिना जीते टिकटों की संख्या 1000 है - (5+10+20+50) = 915, फिर पी(एक्स=0) = 915/1000 = 0.915।

इसी तरह, हम अन्य सभी संभावनाएँ पाते हैं: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0.005. आइए परिणामी कानून को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:

आइए मान X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

कार्य 3.

डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। एक प्रयोग में विफल तत्वों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं, एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें। वितरण फ़ंक्शन F(x) ढूंढें और इसे प्लॉट करें। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।

समाधान। 1. असतत यादृच्छिक चर दो तत्व विफल रहे) और x 4 =3 (तीन तत्व विफल रहे)।

तत्वों की विफलता एक दूसरे से स्वतंत्र होती है, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावनाएँ समान होती हैं, इसलिए यह लागू होता है बर्नौली सूत्र . यह ध्यान में रखते हुए, शर्त के अनुसार, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, हम मानों की संभावनाएँ निर्धारित करते हैं:
पी 3 (0) = सी 3 0 पी 0 क्यू 3-0 = क्यू 3 = 0.9 3 = 0.729;
पी 3 (1) = सी 3 1 पी 1 क्यू 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
पी 3 (2) = सी 3 2 पी 2 क्यू 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
पी 3 (3) = सी 3 3 पी 3 क्यू 3-3 = पी 3 =0.1 3 = 0.001;
जांचें: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

इस प्रकार, एक्स के वांछित द्विपद वितरण कानून का रूप है:

हम भुज अक्ष के अनुदिश x i के संभावित मान और कोटि अक्ष के अनुदिश संगत संभाव्यताएँ p i आलेखित करते हैं। आइए बिंदु M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) बनाएं। इन बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़कर, हम वांछित वितरण बहुभुज प्राप्त करते हैं।

3. आइए वितरण फलन F(x) = Р(Х) ज्ञात करें

x ≤ 0 के लिए हमारे पास F(x) = Р(Х है<0) = 0;
0 के लिए< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 के लिए< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 के लिए< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 के लिए F(x) = 1 होगा, क्योंकि घटना विश्वसनीय है.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ F(x)

4. द्विपद बंटन X के लिए:
- गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) = एनपी = 3*0.1 = 0.3;
- विचरण D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- मानक विचलन σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.